การแก้สมการลอการิทึม

(solving logarithmic equality)

ม. ปลาย / คณิตศาสตร์ / เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

หลักการแก้สมการลอการิทึมมีดังนี้

1. ถอด $\log$

จาก $\log_a x = y$ จะได้ว่า $x = a^y$

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการถอด log

$\log_{\sqrt{x-1}} (x^4 - 8x^2 - 2x + 1) = 4$

เราถอด $\log$ จะได้ว่า

\begin{array}{rcl} x^{4} - 8 x^{2} - 2 x + 1 & = & (\sqrt{x - 1})^{4} \\ x^{4} - 8 x^{2} - 2 x + 1 & = & (x - 1)^{2} \\ x^{4} - 8 x^{2} - 2 x + 1 & = & x^{2} - 2 x + 1 \\ x^{4} - 9 x^{2} & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} x^4 - 8x^2 - 2x + 1 &=& (\sqrt{x-1})^4\\ x^4 - 8x^2 - 2x + 1 &=& (x-1)^2\\ x^4 - 8x^2 - 2x + 1 &=& x^2 - 2x + 1\\ x^4 - 9x^2 &=& 0 \end{eqnarray*}$

แก้สมการโดยการแยกตัวประกอบ

\begin{array}{rcl} x^{2} (x^{2} - 9) & = & 0 \\ x^{2} (x - 3) (x + 3) & = & 0 \\ x & = & - 3, 0, 3 \end{array}

$\begin{eqnarray*} x^2 (x^2 - 9) &=& 0\\ x^2 (x - 3)(x + 3) &=& 0\\ x &=& -3, 0, 3 \end{eqnarray*}$

แต่ $x = 0$ และ $x = -3$ จะทำให้ $\sqrt{x-1}$ ด้านในรูทติดลบ จึงใช้ไม่ได้

$x = 3$

2. ทำฐานให้เท่ากัน

หลักการคล้ายกับการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือเมื่อทำ $\log$ ให้เป็นฐานเดียวกันทั้งสองข้างแล้ว

จะได้ว่าสิ่งที่อยู่ใน $\log$ ต้องเท่ากันด้วย

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการทำฐานให้เท่ากัน

$\log_2 (x^2 - 1) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$

ทำฐานให้เป็น $2$ เหมือนกัน จะได้

\begin{array}{rcl} \log_{2} (x^{2} - 1) & = & \log_{2^{- 1}} (x - 1) \\ \log_{2} (x^{2} - 1) & = & \frac{1}{- 1} \log_{2} (x - 1) \\ \log_{2} (x^{2} - 1) & = & (- 1) \log_{2} (x - 1) \\ \log_{2} (x^{2} - 1) & = & \log_{2} (x - 1)^{- 1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \log_2 (x^2 - 1) &=& \log_{2^{-1}} (x - 1)\\ \log_2 (x^2 - 1) &=& \frac{1}{-1} \log_2 (x-1)\\ \log_2 (x^2 - 1) &=& (-1) \log_2 (x-1)\\ \log_2 (x^2 - 1) &=& \log_2 (x-1)^{-1} \end{eqnarray*}$

เมื่อฐานเท่ากัน เราจึงได้ว่า

\begin{array}{rcl} x^{2} - 1 & = & (x - 1)^{- 1} \\ x^{2} - 1 & = & \frac{1}{x - 1} \\ (x^{2} - 1) (x - 1) & = & 1 \\ x^{3} - x^{2} - x + 1 & = & 1 \end{array}

$\begin{eqnarray*} x^2 - 1 &=& (x-1)^{-1}\\ x^2 - 1 &=& \frac{1}{x-1}\\ (x^2 - 1)(x-1) &=& 1\\ x^3 - x^2 - x + 1 &=& 1 \end{eqnarray*}$

$1$ ทั้งสองข้างตัดกัน จะได้

\begin{array}{rcl} x^{3} - x^{2} - x & = & 0 \\ x (x^{2} - x - 1) & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 - x &=& 0\\ x(x^2 - x - 1) &=& 0 \end{eqnarray*}$

ดังนั้น $x = 0$

หรือ $x^2 - x - 1 = 0$ ใช้สูตร

\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 (1) (- 1)}}{2 (1)} \\ = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \\ = & \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x &=& \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\\ &=& \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\\ &=& \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

แต่ $x = 0$ และ $\displaystyle x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ทำให้ใน $\log$ คือ $x-1$ ติดลบ จึงใช้ไม่ได้

$\displaystyle x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

3. จัดให้อยู่ในรูปสมการพหุนาม

เมื่อจัดอยู่ในรูปสมการพหุนาม เราสามารถแก้โดยการแยกตัวประกอบหรือใช้สูตรได้

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการทำให้อยู่ในรูปสมการพหุนาม

$\log_2 x + 4 \log_x 2 = 5$

โดยสมบัติของลอการิทึม เราได้ว่า $\displaystyle \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$

ดังนั้น กำหนดสัญลักษณ์ให้ $\log_2 x = A$ จะได้ว่า $\displaystyle \log_x 2 = \frac{1}{A}$

\begin{array}{rcl} A + 4 (\frac{1}{A}) & = & 5 \end{array}

$\begin{eqnarray*} A + 4 \left( \frac{1}{A} \right) &=& 5 \end{eqnarray*}$

นำ $A$ คูณตลอดทั้งสมการ

\begin{array}{rcl} A^{2} + 4 & = & 5 A \\ A^{2} - 5 A + 4 & = & 0 \\ (A - 4) (A - 1) & = & 0 \\ A & = & 1, 4 \end{array}

$\begin{eqnarray*} A^2 + 4 &=& 5A\\ A^2 - 5A + 4 &=& 0\\ (A - 4)(A - 1) &=& 0\\ A &=& 1, 4 \end{eqnarray*}$

นั่นคือ $\log_2 x = 1$ หรือ $\log_2 x = 4$

ใช้การถอด $\log$ จะได้ $x = 2^1 = 2$ หรือ $x = 2^4 = 16$

$x = 2$ หรือ $x = 16$

4. ใช้สมบัติของเอกซ์โพเนนเชียล

ใช้หลักการแก้เหมือนสมการเอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือทำฐานให้เท่ากัน แล้วจะได้ว่าเลขชี้กำลังเท่ากันด้วย

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการใช้สมบัติของเอกซ์โพเนนเชียล

$\displaystyle 5^{\log_3 x} + x^{\log_3 5} = 10$

โดยสมบัติของลอการิทึม จะได้ว่า

x^{\log_{3} 5} = 5^{\log_{3} x}

$\displaystyle x^{\log_3 5} = 5^{\log_3 x}$

ดังนั้น

\begin{array}{rcl} 5^{\log_{3} x} + 5^{\log_{3} x} & = & 10 \\ 2 \cdot 5^{\log_{3} x} & = & 10 \\ 5^{\log_{3} x} & = & 5 \end{array}

$\begin{eqnarray*} 5^{\log_3 x} + 5^{\log_3 x} &=& 10\\ 2 \cdot 5^{\log_3 x} &=& 10\\ 5^{\log_3 x} &=& 5 \end{eqnarray*}$

ฐานของเอกซ์โพเนนเชียลทั้งสองข้างเท่ากัน จึงได้ว่า

\begin{array}{rcl} \log_{3} x & = & 1 \\ x & = & 3^{1} \\ x & = & 3 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \log_3 x &=& 1\\ x &=& 3^1\\ x &=& 3 \end{eqnarray*}$

$x = 3$

คำคล้าย : การแก้สมการลอการิทึม

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ