การแก้สมการลอการิทึม (Solving Logarithmic Equality)


การแก้สมการลอการิทึม

หลักการแก้สมการลอการิทึมมีดังนี้

1. ถอด $\log$

จาก $\log_a x = y$ จะได้ว่า $x = a^y$

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการถอด log

$\log_{\sqrt{x-1}} (x^4 - 8x^2 - 2x + 1) = 4$

เราถอด $\log$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^4 - 8x^2 - 2x + 1 &=& (\sqrt{x-1})^4\\
x^4 - 8x^2 - 2x + 1 &=& (x-1)^2\\
x^4 - 8x^2 - 2x + 1 &=& x^2 - 2x + 1\\
x^4 - 9x^2 &=& 0
\end{eqnarray*}

แก้สมการโดยการแยกตัวประกอบ

\begin{eqnarray*}
x^2 (x^2 - 9) &=& 0\\
x^2 (x - 3)(x + 3) &=& 0\\
x &=& -3, 0, 3
\end{eqnarray*}

แต่ $x = 0$ และ $x = -3$ จะทำให้ $\sqrt{x-1}$ ด้านในรูทติดลบ จึงใช้ไม่ได้

$x = 3$

2. ทำฐานให้เท่ากัน

หลักการคล้ายกับการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือเมื่อทำ $\log$ ให้เป็นฐานเดียวกันทั้งสองข้างแล้ว

จะได้ว่าสิ่งที่อยู่ใน $\log$ ต้องเท่ากันด้วย

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการทำฐานให้เท่ากัน

$\log_2 (x^2 - 1) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$

ทำฐานให้เป็น $2$ เหมือนกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
\log_2 (x^2 - 1) &=& \log_{2^{-1}} (x - 1)\\
\log_2 (x^2 - 1) &=& \frac{1}{-1} \log_2 (x-1)\\
\log_2 (x^2 - 1) &=& (-1) \log_2 (x-1)\\
\log_2 (x^2 - 1) &=& \log_2 (x-1)^{-1}
\end{eqnarray*}

เมื่อฐานเท่ากัน เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^2 - 1 &=& (x-1)^{-1}\\
x^2 - 1 &=& \frac{1}{x-1}\\
(x^2 - 1)(x-1) &=& 1\\
x^3 - x^2 - x + 1 &=& 1
\end{eqnarray*}

$1$ ทั้งสองข้างตัดกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
x^3 - x^2 - x &=& 0\\
x(x^2 - x - 1) &=& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x = 0$

หรือ $x^2 - x - 1 = 0$ ใช้สูตร

\begin{eqnarray*}
x &=& \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\\
&=& \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\\
&=& \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}

แต่ $x = 0$ และ $\displaystyle x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ทำให้ใน $\log$ คือ $x-1$ ติดลบ จึงใช้ไม่ได้

$\displaystyle x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

3. จัดให้อยู่ในรูปสมการพหุนาม

เมื่อจัดอยู่ในรูปสมการพหุนาม เราสามารถแก้โดยการแยกตัวประกอบหรือใช้สูตรได้

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการทำให้อยู่ในรูปสมการพหุนาม

$\log_2 x + 4 \log_x 2 = 5$

โดยสมบัติของลอการิทึม เราได้ว่า $\displaystyle \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$

ดังนั้น กำหนดสัญลักษณ์ให้ $\log_2 x = A$ จะได้ว่า $\displaystyle \log_x 2 = \frac{1}{A}$

\begin{eqnarray*}
A + 4 \left( \frac{1}{A} \right) &=& 5
\end{eqnarray*}

นำ $A$ คูณตลอดทั้งสมการ

\begin{eqnarray*}
A^2 + 4 &=& 5A\\
A^2 - 5A + 4 &=& 0\\
(A - 4)(A - 1) &=& 0\\
A &=& 1, 4
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $\log_2 x = 1$ หรือ $\log_2 x = 4$

ใช้การถอด $\log$ จะได้ $x = 2^1 = 2$ หรือ $x = 2^4 = 16$

$x = 2$ หรือ $x = 16$

4. ใช้สมบัติของเอกซ์โพเนนเชียล

ใช้หลักการแก้เหมือนสมการเอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือทำฐานให้เท่ากัน แล้วจะได้ว่าเลขชี้กำลังเท่ากันด้วย

ตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยการใช้สมบัติของเอกซ์โพเนนเชียล

$\displaystyle 5^{\log_3 x} + x^{\log_3 5} = 10$

โดยสมบัติของลอการิทึม จะได้ว่า $$\displaystyle x^{\log_3 5} = 5^{\log_3 x}$$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
5^{\log_3 x} + 5^{\log_3 x} &=& 10\\
2 \cdot 5^{\log_3 x} &=& 10\\
5^{\log_3 x} &=& 5
\end{eqnarray*}

ฐานของเอกซ์โพเนนเชียลทั้งสองข้างเท่ากัน จึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\log_3 x &=& 1\\
x &=& 3^1\\
x &=& 3
\end{eqnarray*}

$x = 3$

คำคล้าย: 
  • การแก้สมการลอการิทึม
  • Solving Logarithmic Equality