ความแปรปรวนรวม (combined variance)


สูตรแปรปรวนรวมมีหลายรูปแบบ  แบบที่ง่ายที่สุด คือ ความแปรปรวนรวมของข้อมูลสองกลุ่มที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน ซึ่งจะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเท่ากันด้วย

$$S^2 = \dfrac{N_1 {S_1}^2 + N_2 {S_2}^2 }{ N_1 + N_2 }$$

ข้อควรระวัง สูตรด้านบนใช้ได้เฉพาะกรณีที่ $\bar{x_1} = \bar{x_2}$ เท่านั้น!

แต่ถ้าหากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองกลุ่มไม่เท่ากัน จะต้องใช้สูตรความแปรปรวนรวมของข้อมูลสองชุดใดสูตรหนึ่งในสามสูตรต่อไปนี้

$$S^2 = \frac{N_1{S_1}^2 + N_2{S_2}^2 +N_1 \left(\bar{x_1} - \bar{x} \right)^2 + N_2 \left( \bar{x_2} - \bar{x} \right)^2 }{N_1 + N_2}$$

หรือ

$$S^2 = \frac{N_1{S_1}^2 + N_2{S_2}^2 +N_1 \left(\bar{x_1}^2 - \bar{x}^2 \right) + N_2 \left( \bar{x_2}^2 - \bar{x}^2 \right) }{ N_1 + N_2 }$$

หรือ 

$$S^2 + \bar{x}^2 = \frac{N_1\left( {S_1}^2 + \bar{x_1}^2 \right) + N_2 \left( {S_2}^2 + \bar{x_2}^2 \right)}{ N_1 + N_2 }$$

ส่วนถ้าเป็นข้อมูลมากกว่าสองกลุ่มขึ้นไปสามารถใช้สูตรความแปรปรวนรวมข้อมูล $k$ ชุดได้ดังนี้

$$S^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k N_i{S_i}^2 + \sum_{i=1}^k N_i \left( \bar{x_i} - \bar{x} \right)^2 }{\displaystyle \sum_{i=1}^k N_i }$$

หรือ

$$S^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k N_i{S_i}^2 + \sum_{i=1}^k N_i \left( \bar{x_i}^2 - \bar{x}^2 \right) }{\displaystyle \sum_{i=1}^k N_i }$$

หรือ

$$S^2 + \bar{x}^2 = \frac{\displaystyle  \sum_{i=1}^k N_i \left( {S_i}^2 + \bar{x_i}^2 \right) }{\displaystyle \sum_{i=1}^k N_i }$$

สัญลักษณ์ที่ใช้ในสูตร

\begin{eqnarray*}
\bar{x} &=& \text{ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทุกชุดรวมกัน }\\
\bar{x_i} &=& \text{ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ }i\\
N_i &=& \text{ จำนวนข้อมูลในชุดที่ }i\\
S^2 &=& \text{ ความแปรปรวนของข้อมูลทุกชุดรวมกัน}\\
{S_i}^2 &=& \text{ ความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ }i
\end{eqnarray*} 

ในการคำนวณความแปรปรวนรวม มักจะต้องใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมประกอบด้วย

คำคล้าย: 
  • ความแปรปรวนรวม
  • combined variance