ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือที่เราเรียกกันย่อๆ ว่าค่าเฉลี่ย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $(\bar{x})$ เป็นค่ากลางทางสถิติค่าหนึ่ง ที่เจอบ่อยและใช้เยอะมาก
หลักการการหาค่าเฉลี่ยง่ายๆ คือ เอาค่าทั้งหมดที่มีรวมกัน แล้วนำมา หารด้วย จำนวนของข้อมูล
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่จะมีลักษณะเป็นตัวๆ คือ $x_1,x_2,\cdots,x_n$ ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ $$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n$$
ตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบไม่แจกแจงความถี่
สมมุติข้อมูลคือ $1,2,2,5,7,11,15,9$ ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
\begin{eqnarray*}
\frac{1+2+2+5+7+11+15+9}{8} &=& \frac{52}{8}\\
&=& 6.5
\end{eqnarray*}
$6.5$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบแจกแจงความถี่
ข้อมูลแจกแจงความถี่ คือ ข้อมูลที่ให้มาเป็นช่วงไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละตัวมีค่าเท่าไหร่ เช่น ในช่วง $21-30$ มีจำนวน $10$ คน เราไม่สามารถบอกได้ว่าใน $10$ คนนี้แต่ละคนมีค่าเท่าใด แล้วเราจะหาผลรวมได้ยังไง?
เนื่องจากเราเชื่อว่าในช่วง $21-30$ นั้นย่อมมีทั้งคนที่ได้คะแนนมากและน้อยอยู่รวมกัน จึงใช้วิธีที่บอกว่าแต่ละตัวมากน้อยเท่าไหร่ไม่รู้ แต่สุดท้ายต้องเอามารวมกันอยู่ดี เราเลยประมาณได้ว่าทุกตัวมีค่าอยู่ตรงกลางพอดี
ดังนั้นถ้าเราให้ $x_i$ แทนจุดกึ่งกลางชั้นที่ $i$ และ $f_i$ แทนความถี่ในชั้นนั้น จะได้ว่าในชั้นนั้นมีผลรวมเท่ากับ $x_if_i$
จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ $$\frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}n={\displaystyle\frac{\sum^{k}_{i=1}{x_if_i}}{n}}$$
เมื่อข้อมูลมีทั้งหมด $k$ ชั้น และมีจำนวนทั้งหมด $n$ ตัว
ตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแบบเจกแจงความถี่
สมมุติข้อมูลที่กำหนดให้คือ
| คะแนน |
จำนวน |
|---|---|
|
31-40 |
5 |
| 41-50 | 10 |
| 51-60 | 8 |
| 61-70 | 2 |
จากข้อมูลจะได้
| คะแนน | จำนวน นักเรียน $(f_i)$ |
$x_i$ | $x_if_i$ |
|---|---|---|---|
| 31-40 | 5 | 35.5 |
177.5 |
| 41-50 | 10 | 45.5 | 445 |
| 51-60 | 8 | 55.5 | 444 |
| 61-70 | 2 | 65.5 | 131 |
ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
\begin{eqnarray*}
\frac{177.5+445+444+131}{5+10+8+2} &=& \frac{1197.5}{25}\\
&=& 47.9
\end{eqnarray*}
$47.9$
สูตรลดทอนในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต
เมื่อหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบแจกแจงความถี่แล้วนั้นจะเห็นว่า เมื่อไหร่ก็ตามที่อัตภาคชั้นแต่ละชั้น เป็นจำนวนที่มีค่ามาก ๆ จะต้องคิดเลขเยอะมาก ซึ่งนอกจากจะน่าเบื่อในการคิดเลขแล้ว ยังทำให้เกิดความผิดพลาดได้ง่าย เราจึงมีสูตรลดทอนที่ทำให้การคิดเลขน้อยลง
นั้นคือ $$\bar{x}=a+I\frac{\sum^k_{i=1}{d_if_i}}n$$ เมื่อ $d_i=\frac{x_i-a}{I}$ และ $k$ เป็นจำนวนอัตราภาคชั้น
โดยกำหนดให้ $a$ เป็นค่ากลางสมมุติ จะเลือกจากจุดกึ่งกลางชั้นชั้นใดก็ได้ แต่นิยมใช้ชั้นที่มีความถี่สูงสุด หรือชั้นที่อยู่ตรงกลาง
\begin{align*}
\text{เมื่อ} & I \text{แทนความกว้างของอัตราภาคชั้น}\\
& f_i \text{แทนความถี่ของแต่ละอัตรภาคชั้น}\\
& n \text{แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมด}
\end{align*}
จากสูตรการลดทอนข้างบน จะดูเหมือนกับว่าสูตรจำยากมาก แต่จริงๆ แล้ว ส่วนมากข้อสอบที่ออกจะมีความกว้างอัตรภาคชั้นที่เท่ากันทั้งหมดทำให้การหา $d_i$ นั้นง่ายมาก เพียงแค่ยึดอัตราภาคชั้นที่เราสมมุติให้มีค่ากลางอยู่มีค่า $d=0$ หลังจากนั้น ถ้าชั้นด้านล่างให้ลบหนึ่งไปเรื่อย ๆ ถ้าชั้นด้านบนให้บวกหนึ่งไปเรื่อย ๆ แค่นั้นเอง
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากสูตรลดทอน
จากข้อมูลที่กำหนดให้จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
| ความสูง (ซม.) | จำนวนคน |
|---|---|
| 151-155 |
5 |
| 156-160 | 20 |
| 161-165 | 37 |
| 166-170 | 23 |
| 171-175 | 18 |
| 175-180 | 2 |
จากข้อมูลเลือกจุดกึ่งกลางชั้นที่ต้องการให้เป็นค่ากลางสมมุติ
ในข้อนี้สังเกตุว่าไม่มีชั้นที่อยู่ตรงกลางพอดี ดังนั้นให้เลือกชั้นที่อยู่เกือบกลางและความถี่สูงสุด นั้นคือชั้นที่ $3$ ดังนั้นค่า $a=163$
จากนั้นให้สร้างตารางใหม่คือ
| ความสูง (ซม.) | จำนวนคน | $d_i$ |
|---|---|---|
| 151-155 | 5 | -2 |
| 156-160 | 20 | -1 |
| 161-165 | 37 | 0 |
| 166-170 | 23 | 1 |
| 171-175 | 18 | 2 |
| 176-180 | 2 | 3 |
ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
\begin{eqnarray*}
\bar{x}&=&163+\frac{(-2)(5)+(-1)(20)+(0)(37)+(1)(23)+(2)(18)+(3)(2)}{5+20+37+23+18+2}\\
&=&163+\frac{-10-20+0+23+36+6}{105}\\
&=&163+\frac{35}{105}\\
&\approx&163+0.333\\
&=&163.333
\end{eqnarray*}
$163.333$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก
ปกติเวลาเราคิดค่าเฉลี่ยเลขคณิตหลักการคือเอาทุกตัวมาบวกกัน แล้วหารด้วยจำนวนตัวทั้งหมด จริง ๆ แล้ววิธีที่เราพูดถึงก็เป็นการถ่วงน้ำหนักเหมือนกัน แต่เป็นการถ่วงน้ำหนักที่ทุกตัวมีน้ำหนักเท่ากันคือ $1$
หลักการคิด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก เป็นการคิดค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ให้ความสำคัญของข้อมูลแต่ละตัวไม่เท่ากันตัวไหนสำคัญมากน้อย ขึ้นอยู่กับน้ำหนักที่ให้
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักที่พบบ่อยมาก คือ การคิดเกรดเฉลี่ย เนื่องจากเวลาคิดเกรดเฉลี่ยเราจะให้ความสำคัญของแต่ละวิชาไม่เท่ากัน
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก
นักเรียนคนหนึ่ง ได้ทำการทดสอบจำนวน $4$ วิชา ซึ่งผลการทดสอบที่ได้คือ
| วิขา | น้ำหนัก | เกรด |
|---|---|---|
| คณิตศาสตร์ | $2.5$ | $3.0$ |
| ภาษาไทย | $2$ | $4.0$ |
| วิทยาศาสตร์ | $2.5$ | $3.5$ |
| ศิลปะ | $1$ | $4.0$ |
จงหาเกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนนี้
ปกติถ้าโจทย์ให้หาค่าเฉลี่ยเราจะเอาเกรดทั้งหมดบวกกันแล้วหารด้วย $4$ ซึ่งสำหรับข้อนี้จะทำให้ผิด
เพราะว่าวิชาศิลปะมีผลในการคิดเกรดเฉลี่ยน้อยมาก
ดังนั้นเวลาเราคิดค่าเฉลี่ยที่มีการถ่วงน้ำหนัก ให้ยึดน้ำหนักของแต่ละตัวเป็นหลัง
ในข้อนี้
- คณิตศาสตร์ ให้น้ำหนัก $2.5$ เวลาเราเอามาคิดค่าเฉลี่ยต้องมองเหมือนมีเกรดของคณิตอยู่ $2.5$ ตัว ซึ่งจะได้ผลรวมของวิชานี้คือ $(2.5)\cdot(3.0)=7.5$
- ภาษาไทย ให้น้ำหนัก $2$ เราก็จะคิดว่ามีเกรดวิชานี้ $2$ ตัว ซึ่งได้ผลรวมของวิชานี้คือ $2\cdot(4.0)=8.0$
- วิทยาศาสตร์ ให้น้ำหนัก $2.5$ แสดงว่ามีวิทย์ $2.5$ ตัว ได้ผลรวม $(2.5)\cdot(3.5)=8.75$
- ศิลปะ ให้น้ำหนัก $1$ งั้นก็มีศิลปะแค่ตัวเดียว ได้ผลรวมเป็น $1\cdot(4.0)=4.0$
จากด้านบนเราจะสามารถหาผลรวมได้แล้ว แต่ตอนนี้ปัญหาคือเราจะเอาผลรวมที่ได้หารด้วยอะไร
ในเมื่อเราบอกว่าจำนวนตัวของแต่ละวิชาคือน้ำหนักที่ให้
ดังนั้นตัวหารจะไม่ใช่ $4$ แต่ต้องเป็นผลรวมของน้ำหนักทั้งหมดแทน
จะได้
\begin{eqnarray*}
\text{เกรดเฉลี่ย}&=&\frac{(2.5)\cdot(3.0)+2\cdot(4.0)+(2.5)\cdot(3.5)+1\cdot(4.0)}{2.5+2+2.5+1}\\
&=&\frac{7.5+8.0+8.75+4.0}{8}\\
&=&\frac{28.22}{8}\\
&=&3.53
\end{eqnarray*}
เกรดเฉลี่ย คือ $3.53$
กำหนดให้ข้อมูลคือ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ โดยที่แต่ละตัวมีน้ำหนักคือ $w_1,w_2,w_3,\cdots,w_n$ ตามลำดับ จะได้
$$\text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิต} = \frac{x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+w_3+\cdots+w_n}$$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ใช้ในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลมากกว่าหนึ่งชุด โดยที่ข้อมูลที่เรารู้คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุด และจำนวนข้อมูลในแต่ละชุด
กำหนดให้ $\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3},\cdots,\bar{x_k}$ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ $1,2,3,\cdots,k$ ตามลำดับ และจำนวนข้อมูลในแต่ละชุดคือ $n_1,n_2,n_3,\cdots,n_k$ ตามลำดับ
$$\text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม}=\frac{\bar{x_1}n_1+\bar{x_2}n_2+\bar{x_3}n_3+\cdots+\bar{x_k}n_k}{n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k}$$
หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
นักเรียนห้องหนึ่ง มีนักเรียนหญิง $23$ คน นักเรียนชาย $32$ คน จากข้อมูลความสูงจะได้ว่า ความสูงเฉลี่ยของนักเรียนหญิงคือ $159.8$ เซนติเมตร และความสูงเฉลี่ยของนักเรียนชายคือ $165.3$ จงหาความสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้
จากโจทย์จะได้ว่ามีข้อมูล $2$ ชุด
ชุดที่ $1$ คือข้อมูลของนักเรียนหญิง จะได้ $\bar{x_1}=159.8$ และ $n_1=23$
ชุดที่ $2$ คือข้อมูลของนักเรียนชาย จะได้ $\bar{x_2}=165.3$ และ $n_2=32$
จากข้อมูลทั้ง $2$ ชุดจะได้
\begin{eqnarray*}
\text{ความสูงเฉลี่ย}&=&\frac{159.8\cdot23+165.3\cdot32}{23+32}\\
&=&\frac{3675.4+5289.6}{55}\\
&=&\frac{8965}{55}\\
&=&163
\end{eqnarray*}
ความสูงเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้คือ $163$ เซนติเมตร