เทคนิคตัดตัวแปรตอนแก้(อ)สมการ (Cancel Variable)


ทำไมตอนแก้(อ)สมการจึงตัดตัวแปรไม่ได้

เคยสงสัยไหมว่า ทำไมตอนแก้สมการ $$x^2= x$$

เราจึงไม่สามารถตัด $x$ ทั้งสองข้าง ให้เหลือ $$x=1$$

แล้วได้คำตอบเลย แต่กลับต้องแก้สมการโดยการแยกตัวประกอบ

\begin{eqnarray*}
x^2 - x &=& 0\\
x(x-1) &=& 0\\
x &=& 0, 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งได้คำตอบ $2$ ค่า คือ $0$ กับ $1$

ถ้ายังไม่รู้ พี่มีคำตอบมาให้ครับ การตัด $x$ ทั้งสองข้าง แท้จริงแล้วคือการ "หารด้วย $x$ ทั้งสองข้าง" ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\frac{x^2}{x} &=& \frac{x}{x}\\
x &=& 1
\end{eqnarray*}

แต่สังเกตคำตอบ $2$ ค่าที่ได้สิครับ $x = 0, 1$ หมายความว่า $x$ อาจเป็น $0$ ได้

ถ้า $x=0$ แล้วเรานำ $x$ ไปหารทั้งสองข้าง ก็เท่ากับว่าเรานำ $0$ ไปหารทั้งสองข้าง แต่การหารด้วย $0$ มันหารไม่ได้ใช่ไหมครับ นี่คือเหตุที่ว่าทำไมเราจึงไม่สามารถตัดตัวแปรตอนแก้สมการหรืออสมการ

 

ใช่ว่าจะตัดตัวแปรไม่ได้เสมอไป

จริงๆ บางกรณีก็สามารถตัดตัวแปรได้นะครับ และยังช่วยให้การแก้(อ)สมการ ง่ายขึ้นเยอะเลย แต่กรณีที่ว่าเราต้องมั่นใจก่อนว่าสิ่งที่เราจะตัด ไม่มีทางเป็น $0$ แน่นอน ดูได้จากหลายๆ เงื่อนไข เช่น

 

1. เอกภพสัมพัทธ์

 

หากพิจารณาแล้วว่าเอกภพสัมพัทธ์ของเราไม่ทำให้สิ่งที่เราจะตัดเป็น $0$ แน่นอน ก็ตัดได้เลยครับ

ตัวอย่างการพิจารณาเอกภพสัมพัทธ์

กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาคำตอบของสมการ $x^2 = 2x$

จากสมการ สิ่งที่เราต้องการตัดคือ $x$ ทั้งสองข้าง

แต่เอกภพสัมพัทธ์บอกว่า $x$ เป็นจำนวนจริงบวก คือ $x>0$ แสดงว่าไม่มีทางเป็น $0$ แน่ แบบนี้เราตัดได้เลย

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& 2x\\
\cancelto{x}{x^2} &=& 2\cancel{x}\\
x &=& 2
\end{eqnarray*}

$x=2$

 


 

จงหาคำตอบของอสมการ $x \sqrt{x-2} > x$

สังเกตว่า สิ่งที่อยู่ในสแควรูทต้องไม่ติดลบ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
x - 2 &\geq& 0\\
x &\geq& 2
\end{eqnarray*}

มั่นใจได้ว่า $x$ ไม่เป็น $0$ แน่ เราสามารถตัด $x$ ได้เลย

\begin{eqnarray*}
\cancel{x} \sqrt{x-2} &>& \cancel{x}\\
\sqrt{x-2} &>& 1\\
x-2 &>& 1\\
x &>& 3
\end{eqnarray*}

$x>3$

 

2. สิ่งที่จะตัดเป็นตัวส่วน

 

 เราจำกันได้อย่างฝังใจว่าตัวส่วนห้ามเป็น $0$ แน่นอนครับ เมื่อไม่เป็น $0$ เราก็สามารถตัดได้เช่นกัน

ตัวอย่างการตัดตัวแปรที่เป็นตัวส่วน

จงหาคำตอบของอสมการ $\displaystyle \frac{1}{x+1} > \frac{2x-6}{x^2 - x - 6}$

เราแยกตัวประกอบฝั่งขวามือ

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x+1} &>& \frac{2x-6}{x^2 - x - 6}\\
\frac{1}{x+1} &>& \frac{2(x-3)}{(x+2)(x-3)}
\end{eqnarray*}

เราได้เงื่อนไขคือ $x \neq -2, 3$ เพราะตัวส่วนห้ามเป็น $0$

สังเกตว่าทางขวามี $x-3$ เหมือนกัน แต่ $x-3 \neq 0$ แน่ๆ เพราะเป็นตัวส่วน เราจึงตัดได้

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x+1} &>& \frac{2(\cancel{x-3})}{(x+2)(\cancel{x-3})}\\
\frac{1}{x+1} &>& \frac{2}{x+2}
\end{eqnarray*}

จากนั้นเราแก้อสมการต่อตามปกติได้เลย

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} &>& 0\\
\frac{(x+2) - 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} &>& 0\\
\frac{x+2-2x-2}{(x+1)(x+2)} &>& 0\\
\frac{-x}{(x+1)(x+2)} &>& 0
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยคูณ $-1$ ทั้งสองข้าง ให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ เป็นบวก เพื่อใช้เทคนิคบวก-ลบ-บวก

\begin{eqnarray*}
(-1) \cdot \frac{-x}{(x+1)(x+2)} &<& (-1) \cdot 0\\
\frac{x}{(x+1)(x+2)} &<& 0
\end{eqnarray*}

ได้เส้นจำนวน

เส้นจำนวน ตัดตัวแปร อสมการ

$x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0)$

ในกรณีของตัวส่วน ต้องระวังเงื่อนไขแต่แรกด้วย คือ $x \neq -2, 3$ ในข้อนี้โชคดีที่เครื่องสมการไม่มีขีดเท่ากับอยู่แล้ว และ $3$ ก็ไม่ได้อยู่ในคำตอบอยู่แล้ว จึงไม่กระทบอะไร

 

สุดท้ายแล้ว เทคนิคเหล่านี้อาจไม่ใช่สิ่งที่จำเป็น เพราะต่อให้ไม่รู้เทคนิคก็สามารถหาคำตอบของ(อ)สมการได้ แต่เทคนิคนี้ช่วยเราได้ในกรณีที่ต้องแข่งกับเวลา โดยเฉพาะในการสอบ เพราะบางครั้งการหาคำตอบตรงๆ อาจทำให้เราทำข้อสอบได้ไม่ทันเวลา สิ่งสำคัญที่สุดที่ช่วยให้เราใช้เทคนิคได้อย่างเป็นประโยชน์ก็คือการใช้อย่างเข้าใจ และฝึกฝนการใช้งานเยอะๆ ครับ

คำคล้าย: 
  • เทคนิคตัดตัวแปรตอนแก้(อ)สมการ
  • Cancel Variable