บวก-ลบ-บวก คืออะไร ใช้อย่างไร

บวก-ลบ-บวก เป็นคำพูดติดหูใครหลายๆ คน ที่มักผุดขึ้นมาในความคิดเมื่อต้องแก้อสมการ แต่ก็มีหลายคนที่ยังไม่รู้ว่าจริงแล้วเทคนิคนี้ใช้อย่างไร และใช้ผิดพลาดไปบ่อยครั้ง เรามาดูวิธีการใช้ที่ถูกต้องกันดีกว่า

ตัวอย่างอสมการง่ายๆ อย่าง

$$x^2 - 8x + 15 \leq 0$$

วิธีแก้อสมการไม่ได้ยากอะไร แค่แยกตัวประกอบเป็น

$$(x-3)(x-5) \leq 0$$

แล้วนำ $x = 3$ กับ $x=5$ ไปใส่ในเส้นจำนวน ได้เป็น

พอถึงขั้นนี้ คำว่า บวก-ลบ-บวก จะดังขึ้นในหัวอย่างอัตโนมัติ ว่าแต่ มันคืออะไร

บวก-ลบ-บวก ที่ว่าก็คือแบบนี้ไง

อสมการในข้อนี้เป็นเครื่องหมาย $\leq 0$ เราจึงเลือก "ลบ" ได้คำตอบเป็น

คำตอบของอสมการคือ $x \in [3, 5]$

พหุนามดีกรีมากกว่า 2 ก็ใช้ได้

ถ้าเทคนิค บวก-ลบ-บวก ใช้ได้แค่นี้ก็คงจะดูไม่มีประโยชน์อะไรมากนัก อันที่จริงกับอสมการพหุนามดีกรีมากกว่า $2$ ก็ใช้ได้ เช่นอสมการ

$$x^3 - 2x^2 - x + 2 < 0$$

เราแยกตัวประกอบพหุนามได้เป็น

$$(x+1)(x-1)(x-2) < 0$$

ก็นำ $x = -1, x=1$ และ $x=2$ ไปใส่ในเส้นจำนวนตามปกติ

คราวนี้มี $4$ ช่อง จะ บวก-ลบ-บวก ก็คงไม่ครบ แต่รู้ไหมว่าที่จริงแล้วเทคนิคนี้คือ

เราจึงได้เส้นจำนวน

ในทำนองเดียวกัน อสมการมีเครื่องหมาย $<0$ จึงเลือกช่วงลบ ได้คำตอบเป็น

คำตอบของอสมการคือ $x\in (-\infty, -1) \cup (1, 2)$

เงื่อนไขของการใช้ บวก-ลบ-บวก

สิ่งที่ต้องระวังในการใช้เทคนิคนี้คือ เมื่อแยกตัวประกอบแล้ว สัมประสิทธิ์หน้า $x$ ในทุกๆ วงเล็บ จะต้องเป็นบวก หารมีสัมประสิทธิ์ที่เป็นลบมา ตอนใส่เครื่องหมายในเส้นจำนวนจะต้องเริ่มด้วยลบ เป็น ลบ-บวก-ลบ-บวก-... ไปเรื่อยๆ เช่น

$$(x+1)(1-x)(x-2) > 0$$

เรายังคงใส่ $x=-1, x=1$ และ $x=2$ ลงในเส้นจำนวนเหมือนเดิม แต่สังเกตว่าในวงเล็บกลาง $(1-x)$ สัมประสิทธิ์หน้า $x$ คือ $-1$ เราจึงต้องเริ่มด้วยเครื่องหมายลบ ดังนี้

แล้วเครื่องหมายของอสมการคือ $>0$ เราจึงเลือกช่วงบวก กลายเป็น

หากเรายังใช้เครื่องหมายเป็น บวก-ลบ-บวก-... จะได้คำตอบที่ผิด

บวก-ลบ-บวก อย่างไรให้ไม่นก

การสังเกตสัมประสิทธิ์หน้า $x$ ก่อนใส่เครื่องหมาย อาจไม่ใช่เรื่องยาก แต่หากมีวงเล็บหลายๆ วงเล็บ และมีสัมประสิทธิ์ที่ติดลบหลายตัว อาจทำให้เราสับสนได้

เช่นอสมการจากขั้นที่แล้ว

$$(x+1)(1-x)(x-2) > 0$$

เราคูณด้วย $-1$ ทั้งสองข้าง (อย่าลืมกลับเครื่องหมาย) แล้วกระจาย $-1$ เข้าในวงเล็บกลางซะ

$$\begin{eqnarray*} (-1)(x+1)(1-x)(x-2) &<& (-1)0\\ (x+1)(-1+x)(x-2) &<& 0\\ (x+1)(x-1)(x-2) &<& 0 \end{eqnarray*}$$

แค่นี้ก็สามารถใช้ บวก-ลบ-บวก-... ได้เหมือนเดิมแล้ว

และไม่ว่าจะมีสัมประสิทธิ์ติดลบกี่ตัว ก็แค่คูณด้วย $-1$ ตามจำนวนเข้าไปก็เรียบร้อย สบายๆ ไม่นก!!!