กำหนดให้คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $a$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $b$ นาย ก และนาย ข เป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ ซึ่งนาย ก สอบได้ $68$ คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ $1.5$

ถ้าครูปรับคะแนนใหม่โดยเพิ่มคะแนนของนักเรียนทุกคนเป็น $2$ เท่า ของคะแนนเดิม ปรากฏว่าคะแนนใหม่ของนาย ข มากกว่าคะแนนใหม่ของนาย ก อยู่ $6$ คะแนน และคะแนนใหม่ของนาย ข คิดเป็นคะแนนมาตรฐาน $1.9$ แล้ว จงหาค่าของ $a+b$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาคะแนนของนาย ก[/STEP]

นาย ก สอบได้ $68$ คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ $1.5$ เข้าสูตร $z$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z &=& \frac{x - \overline{x}}{S.D.}\\
1.5 &=& \frac{68 - a}{b}
\end{eqnarray*}

[STEP]ปรับคะแนนใหม่ พิจารณา $\overline{x}$ และ $S.D.$ ใหม่[/STEP]

ครูเพิ่มคะแนนทุกคนเป็น $2$ เท่า จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\overline{x}_{\text{ใหม่}} &=& 2 a\\
S.D._{\text{ใหม่}} &=& 2 b
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาคะแนนใหม่ของนาย ก และนาย ข[/STEP]

เมื่อปรับคะแนนแล้ว คะแนนใหม่ของนาย ข คิดเป็นคะแนนมาตรฐาน $1.9$ แทนในสูตร $z$

\begin{eqnarray*}
1.9 &=& \frac{x_{\text{ข} \; \text{ใหม่}} - 2a}{2b} &----& (1)
\end{eqnarray*}

คะแนนเดิมของนาย ก คือ $68$ คะแนน เมื่อถูกเพิ่มเป็นสองเท่า คือ $136$ คะแนน แล้วคะแนนใหม่ของนาย ข มากกว่าอยู่ $6$ คะแนน

แสดงว่าคะแนนใหม่ของนาย ข เท่ากับ

$136+6 = 142$ คะแนน

แทนในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
1.9 &=& \frac{142 - 2a}{2b}\\
1.9 &=& \frac{2(71 - a)}{2b}\\
1.9 &=& \frac{71 - a}{b}
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการหา $a$ และ $b$[/STEP]

จากสมการในขั้นตอนที่ $1$ $$\displaystyle 1.5 = \frac{68 - a}{b} ---- (2)$$

และสมการในขั้นตอนที่ $3$ $$\displaystyle 1.9 = \frac{71 - a}{b} ---- (3)$$

นำสมการ $(3) - (2)$

\begin{eqnarray*}
1.9 - 1.5 &=& \frac{71 - a}{b} -  \frac{68 - a}{b}\\
0.4 &=& \frac{71 - a - 68 + a}{b}\\
0.4 &=& \frac{3}{b}\\
b &=& \frac{3}{0.4}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $$\displaystyle b = \frac{3}{0.4} = \frac{30}{4} = 7.5$$

แทนในสมการ $(2)$

\begin{eqnarray*}
1.5 &=& \frac{68 - a}{7.5}\\
11.25 &=& 68 - a\\
a &=& 68 - 11.25\\
a &=& 56.75
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $$a + b = 56.75 + 7.5 = 64.25$$

[ANS]$64.25$[/ANS]

ข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต $\overline{x}$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $S.D.$

เมื่อข้อมูลทุกค่าถูกคูณด้วยค่าคงตัว $k$ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่จะเท่ากับ $k \overline{x}$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่จะเท่ากับ $|k| S.D.$

ความรู้ที่ใช้ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์การแปรผัน ค่ามาตรฐาน