กำหนดให้ $\qquad\begin{eqnarray*} a &=& \cos 50^{\circ} + \cos 20^{\circ} \\
b &=& \sin 50^{\circ} - \sin 20^{\circ} \end{eqnarray*}\qquad$ และ

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]เลือกเอกลักษณ์[/STEP]

จากโจทย์เลือกเอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่เหมาะสมมาใช้

นั้นคือ    $\cos(x)+\cos(y)=2\cos(\frac {x + 4}{2})\cos (\frac {x - 4}{2})$

และ       $\sin (x) - \sin (y)=2\sin(\frac {x - y}{2})\cos (\frac {x + y}{2})$

ดังนั้น  $a=\cos 50^\circ +\cos 20^\circ =2\cos 35^\circ \cos 15^\circ $

และ     $b=\sin 50^\circ -\sin 20^\circ =2 \sin 15^\circ\cos15^\circ $

[STEP]หาค่า $ab$[/STEP]

ซึ่งทำให้                      

\begin{eqnarray}
ab&=&(2\cos35^{\circ}\cos15^{\circ})(2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ})\\
&=&(2\cos^2{35^{\circ}})(\sin15^{\circ}\cos15^{\circ})\\
&=&(2\cos^2{35^{\circ}}\sin30^{\circ})\\
&=&(2\cos^2{35^{\circ}})\cdot\frac{1}{2}\\
&=&\cos^2{35^{\circ}}
\end{eqnarray}

เพราะฉะนั้น  ตัวเลือกที่ $3$ จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

ในขณะที่ 

\begin{eqnarray}
a^2+b^2&=&4\cos^2{35^{\circ}}\cos^2{15^{\circ}}+4\sin^2{15^{\circ}}\cos^2{35^{\circ}}\\
&=&4\cos^2{35^{\circ}}(\cos^2{15^{\circ}}+\sin^2{15^{\circ}})\\
&=&4\cos^2{35^{\circ}}\\
\frac{a^2+b^2}{4}&=&\cos^2{35^{\circ}}\\
\frac{a^2+b^2}{2}&=&2\cos^2{35^{\circ}}
\end{eqnarray}

[STEP]พิจารณาตัวนั้น ๆ[/STEP]

จะได้

ตัวเลือกที่ 1 ${\dfrac{a^2 + b^2}{2}}=2\cos^2 35^\circ\neq\sin 20^\circ $ 

ตัวเลือกที่ 2 ${\dfrac{a^2 + b^2}{4}}=2\cos^2 35^\circ\neq\sin 35^\circ $ 

ตัวเลือกที่ 4 ${\dfrac{a^2 + b^2}{4ab}}=\dfrac{\cos^2 35^\circ}{\cos^2 35^\circ} =1\neq\tan 35^\circ $

ตัวเลือกที่ 5 $(a+b)^2-1=4\cos^2 35^\circ-2 cos^2 35^\circ -1\neq \cos 70^\circ$

[ANS] ตัวเลือกที่ C จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ