,

กำหนดสมการข้อจำกัด

\begin{eqnarray*}
3x+by &=& 9 \qquad \cdots (1)\\
3x+2by &=& 18 \qquad \cdots (2)\\
x &=&1 \qquad \cdots (3)\\
x &=& 5 \qquad \cdots (4)\\
y &=& 0 \qquad \cdots (5)
\end{eqnarray*}

จุดตัดของสมการเชิงเส้นแต่ละคู่เป็นดังนี้

$(1)$ และ $(2)$ คือ $\left(0,\frac95 \right)$
$(1)$ และ $(3)$ คือ $\left(1,\frac6b \right)$
$(1)$ และ $(4)$ คือ $\left(5,-\frac6b \right)$
$(1)$ และ $(5)$ คือ $\left(3,0\right)$
$(2)$ และ $(3)$ คือ $\left(1,\frac{15}{2b}\right)$
$(2)$ และ $(4)$ คือ $\left(5,\frac{3}{2b}\right)$
$(3)$ และ $(5)$ คือ $\left(6,0\right)$

จากนั้นวาดกราฟของสมการข้อจำกัด และแรเงาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการ

,

จากนั้นเปรียบเทียบค่าสมการอุปสงค์ $P$ จากจุดมุมทั้งหมด โดยพิจารณาค่า $a,b$ เป็นเลขบวกตามที่โจทย์กำหนด จะได้ 

$$P(x,y) = ax-15y$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
P(x,y) &=& a-15\left(\frac{15}{2b} \right) = a-\frac{225}{2b}\quad\cdots\star\\
P\left(1,\frac{6}{b} \right) &=& a-15 \left( \frac6b \right) = a-\frac{90}{b} = a-\frac{180}{2b} \\
P\left(5, \frac{3}{2b} \right) &=& a\cdot 5 - 15 \left( \frac{3}{2b} \right) = 5a - \frac{45}{2b} \\
P(3,0) &=& a(3) - 15(0) = 3a\\
P(5,0) &=& a(5) - 15(0) = 5a\quad\cdots\star\star
\end{eqnarray*}

จากการเปรียบเทียบ $\left(a-\frac{225}{2b} \right)\quad\cdots\star$ มีค่าน้อยที่สุด และ $5a\quad\cdots\star\star$ มีค่ามากที่สุด

จากโจทย์กำหนด ค่ามากสุด $=15\quad\cdots\star\star$ จึงได้ $5a=15$ ดังนั้น $a=3$

และค่าน้อยสุด $=-8.25 = a-\frac{225}{2b}\star = 3-\frac{225}{2b}$

จึงได้

\begin{eqnarray*}
-8.25 &=& 3-\frac{225}{2b}\\
b &=& 10
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $a^2 +b^2 = 3^2 + 10^2 = 109$