กำหนดให้ $I$ เป็นเซตของจำนวนเต็ม

ให้ $f$ $:$ $I$ $\rightarrow$ $I$ เป็นฟังก์ชันโดยที่

$$f(n) = \begin{cases} \left( f\circ f \right) (n-4) & ,n>60 \\
n+3 & ,n\leq 60 \end{cases}$$

ค่าของ $ f\left( f\left( f\left( f(60) \right) \right) \right)$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]คำนวณ $f(60)$[/step]

เนื่องจากโจทย์ถามค่าของ $ f\left( f\left( f\left( \underline{f(60)} \right) \right) \right)$ ซึ่งต้องคำนวณตั้งแต่ข้างในสุดออกมาเรื่อยๆ นั่นคือ ต้องคำนวณ $f(60)$ ก่อน

จากเงื่อนไขฟังก์ชัน $f(60)$ สามารถคำนวณโดยใช้เงื่อนไขล่าง คือ $f(n)= n+3\quad,n=60$ 

ดังนั้น

$$f(60) = (60)+3 = 63$$

[step]แทนค่า $f(60)=63$ แล้วคำนวณ $f(63)$[/step]

แทนค่า $f(60)=63$ ลงไปในสิ่งที่โจทย์ถาม

\begin{eqnarray*}
f\left( f\left( f\left( \underline{f(60)} \right) \right) \right) &=&  f\left( f\left( f\left( \underline{63} \right) \right) \right)\\
&=& f\left( f\left( \underline{f(63)} \right) \right)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเราจะต้องคำนวณ $f(63)$ ต่อไป แต่เนื่องจากเงื่อนไขฟังก์ชัน $f(n)$ กรณีที่ $n=63$ จะต้องใช้ฟังก์ชันบน คือ $f(n) = f\circ f (n-4)\quad,n>60$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f(63) &=& f\circ f\left( (63)-4 \right)\\
&=& f\circ f(59)\\
&=& f \left( f(59) \right)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $f(59)$ สามารถคำนวณได้จาก $f(n)$ เงื่อนไขล่าง ซึ่งก็คือต้องใช้ฟังก์ชัน $f(n) = n+3\quad,n\leq 60$ และต่อจากนี้เราจะคำนวณค่าของฟังก์ชันต่อเนื่องไปเรื่อยๆ ตามเงื่อนไขของฟังก์ชั่น

\begin{eqnarray*}
f(63) &=& f\left( f(59) \right)\\
&=& f \left( (59)+3 \right)\\
&=& f \left( 62 \right)\\
&=& f\circ f\left( (62)-4 \right)\\
&=& f \left( f(58) \right)\\
&=& f \left( (58)+3 \right)\\
&=& f \left( 61 \right)\\
&=& f \circ f \left( (61)-4 \right)\\
&=& f \left( f(57) \right)\\
&=& f \left( (57)+3 \right)\\
&=& f(60)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเมื่อคำนวณจนเสร็จสิ้นแล้ว เราทราบว่า

$$f(63) = f(62) = f(61) = f(60) = 63$$

[step]ใช้กฎที่ว่า $f(63) = f(60) = 63$ หาค่าฟังก์ชันที่โจทย์ถาม[/step]

นำ $f(63) = f(60) = 63$ มาแทนค่าต่อจากขั้นตอนที่แล้ว

\begin{eqnarray*}
f\left( f\left( f\left( \underline{f(60)} \right) \right) \right) &=& f\left( f\left( \underline{f(63)} \right) \right)\\
&=& f\left( f\left( \underline{63} \right) \right)\\
&=& f\left( f(63) \right)\\
&=& f\left( \underline{f(63)} \right)\\
&=& f\left( \underline{63} \right)\\
&=& 63
\end{eqnarray*}

[ANS]$63$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันคอมโพสิท