คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงความถี่ ดังนี้

ช่วงคะแนน จำนวนนักเรียน
$66-70$ $2$
$71-75$ $3$
$76-80$ $a$
$81-85$ $5$
$86-90$ $7$
$91-95$ $b$
$96-100$ $8$

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ $25$ ของคะแนนสอบนี้เท่ากับ $80.5$ คะแนน

และส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เท่ากับ $7.5$ แล้วจำนวนที่นักเรียนสอบได้คะแนน

มากกว่า $80$ คะแนนเท่ากับเท่าใด

 

เฉลยละเอียด

[step]สร้างตารางแจกแจงความถี่สะสม[/step]

เพิ่มช่องความถี่สะสม

ช่วงคะแนน จำนวนนักเรียน ความถี่สะสม
$66-70$ $2$ $2$
$71-75$ $3$ $3$
$76-80$ $9$ $a+5$
$81-85$ $5$ $a+10$
$86-90$ $7$ $a+17$
$91-95$ $b$ $a+b+17$
 $96-100$ $8$ $a+b+25$

จากตารางความถี่สะสมช่องสุดท้าย ทำให้เราทราบว่าจำนวนนักเรียนทั้งหมดเท่ากับ $N=a+b+25$

จากความรู้ที่ว่า $Q_1 = P_{25}$ และโจทย์กำหนดให้ว่า $Q_1 = P_{25} = 80.5$ 

โดยมีส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ $=\dfrac{Q_3-Q_1}{2} = 7.5$

แทนค่า $Q_1 = 80.5$ ลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{Q_3-80.5}{2} &=&7.5\\
Q_3 -80.5 &=& 7.5\times 2 \\
Q_3 &=& 15+80.5\\
Q_3 &=& 95.5
\end{eqnarray*}

จากสูตรการหา $Q_1$ ในอันตรภาคชั้นที่มีช่วงคะแนน $76-80$

$$80.5 = Q_1 = L+\frac{I}{f}\left( \frac{(N)}{4} - F_L \right) = 75.5 + \frac{5}{a} \left( \frac{ (a+b+25)}{4}-5 \right)$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
80.5 &=& 75.5 + \frac{5}{a} \left( \frac{(a+b+25)}{4} - 5 \right)\\
80.5 - 75.5 &=& \frac{5}{a} \left( \frac{a+b+25}{4}-5 \right)\\
\cancel{5}\times \frac{a}{\cancel{5}} &=& \frac{a+b+25}{4} -5\\
a+5 &=& \frac{a+b+25}{4}\\
4(a+5) &=& a+b+25\\
4a+20 &=& a+b+25\\
3a-b &=& 5\qquad \cdots (1)
\end{eqnarray*}

ในทำนองเดียวกันจากสูตรหา $Q_3$ ในอันตรภาคชั้นที่มีช่วงคะแนน $91-95$

$$95.5 = Q_3 = L+\frac{I}{f}\left( \frac{3(N)}{4} - F_L \right) = 90.5 + \frac{5}{b} \left( \frac{ 3(a+b+25)}{4}-(a+17) \right)$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
95.5 &=& 90.5 + \frac{5}{b} \left( \frac{3(a+b+25)}{4} -(a+17) \right)\\
95.5 - 90.5 &=& \frac{5}{b} \left( \frac{3(a+b+25)}{4} -(a+17) \right)\\
\cancel{5} \times \frac{b}{\cancel{5}}&=& \left( \frac{3(a+b+25)}{4} -(a+17) \right)\\
4\left( b +(a+17) \right)&=& 3 (a+b+25)\\
4b+4a+68 &=& 3a+3b+75\\
a+b &=& 7\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

[step]แก้สมการหาค่า $a,b$[/step]

จากสมการ $(1)$ กับ $(2)$ นำ $(1)+(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
3a-b+a+b &=& 5+7\\
4a &=& 12\\
a &=& 3
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a=3$ ลงใน $(2)$ จะได้ $b=4$

[step]คำนวณจำนวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า $80$ คะแนน[/step]

แทนค่า $a=3$ และ $b=4$ ลงในตารางความถี่สะสมจะได้

ช่วงคะแนน จำนวนนักเรียน ความถี่สะสม
$66-70$ $2$ $2$
$71-75$ $3$ $3$
$76-80$ $9$ $8$
$81-85$ $5$ $13$
$86-90$ $7$ $20$
$91-95$ $4$ $24$
 $96-100$ $8$ $32$

จะเห็นว่านักเรียนที่ได้คะแนนเกิน $80$ คะแนนจะอยู่ในช่วง $81-85$, $86-90$, $91-95$ และ $96-100$ ซึ่งมีจำนวนนักเรียนเท่ากับ

$$5+7+4+8 = 24$$

[ANS]$24$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ตารางแจกแจงความถี่ ควอร์ไทล์