[step]นับวิธีเรียงลูกแก้วสีแดงและสีเขียวลงไปก่อนแล้ววางสีขาว $3$ ลูกลงในช่องว่าง[/step]
จากโจทย์ ต้องการนำลูกแก้วมาเรียงเป็นเส้นตรง $7$ ลูก
โดยเลือกมาจาก
| สีแดง(ขนาดเท่ากัน) $R$ | สีเขียว(ขนาดเท่ากัน) $G$ | สีขาว(ขนาดเท่ากัน) $W$ |
|---|---|---|
| $2$ ลูก | $2$ ลูก | $3$ ลูก |
โดยไม่ให้ลูกที่มีสีเดียวกันว่างอยู่ติดกัน
สมมติ ไม่มีลูกแก้วสีขาว
ถ้าเราเรียงลูกแก้วสีแดง $2$ ลูก และ เขียว $2$ ลูก โดยไม่ได้มีสีเดียวกันวางติดกัน มีวิธีวางไว้ $2$ วิธีกว่านั้นคือ
$$R\quad G\quad R \quad G\qquad\qquad\text{หรือ}\qquad\qquad R \quad G \quad R \quad G$$
เมื่อจะวางลูกแก้วสีขาวเพิ่ม เราก็วางเพิ่มได้ในช่องว่างซึ่งต้องนับรวมหน้าสุดและหลังสุดด้วย
_ $R$ _ $G$ _ $R$ _ $G$ _
จะได้ในช่องว่าง $5$ ช่อง สำหรับวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก $3$ ลูก
จึงได้วิธีว่างทั้งหมด
$$\binom{5}{3} = \dfrac{5 !}{3! (5-3)!} = \dfrac{5 \times 4}{2 !} = 10\quad\text{วิธี}$$
รวมทั้ง $2$ กรณี
คือ _ $R$ _ $G$ _ $R$ _ $G$ _
และ _ $G$ _ $R$ _ $G$ _ $R$ _
จะได้จำนวนวิธีเรียงลูกแก้วแบบไม่มีสีใดติดกันเลยจากวิธีข้างต้นทั้งหมด $10\times 2 = 20$ วิธี
*แต่เมื่อวางลูกสีขาวคั่นกลาง เราพบว่า เราอาจเปลี่ยนตำแหน่งของลูกแก้วสีเขียวและสีแดงได้เพิ่มอีก
[step]นับจำนวนวิธีวางลูกแก้วที่แตกต่างจากขั้นตอนแรก[/step]
จากขั้นตอนแรก เราพบว่าลูกแก้วสีเขียวและสีแดงถูกจัดเรียงในเพียง $2$ ลำดับเท่านั้น คือ $RGRG$ และ $GRGR$ ซึ่งยังขาดกรณีที่เริ่มต้นสีแดงหรือสีเขียวหรือทั้งสองสีติดกัน เช่น $RGGR$, $GRRG$, $GGRR$ หรือ $RRGG$ เป็นต้น โดยแต่ละวิธีเหล่านี้จะวางลูกแก้วสีขาวตามลงไปได้จำนวนไม่เท่ากันดังนี้
กรณี $\bf{RGGR}$
จะเห็นว่าเราจะต้องวางลูกแก้วสีขาวหนึ่งลูกลงไปคั่นกลางระหว่างสีเขียว $2$ ลูกก่อน
$$RGWGR$$
ซึ่งเมื่อลองเขียนช่องว่างที่จะวางลูกสีขาวลงไปเพิ่มแบบไม่ให้มีสีใดติดกันเลย จะได้ $4$ ช่องดังนี้
$$\_ R \_ (GWG) \_ R \_$$
ดังนั้นกรณีนี้จะเลือกวางลูกแก้วสีขาวได้ $\binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2!2!} = 6$ วิธี
กรณี $\bf{GRRG}$
จะเห็นว่าเราจะต้องวางลูกแก้วสีขาวหนึ่งลูกลงไปคั่นกลางระหว่างสีแดง $2$ ลูกก่อน
$$GRWRG$$
ซึ่งเมื่อลองเขียนช่องว่างที่จะวางลูกสีขาวลงไปเพิ่มแบบไม่ให้มีสีใดติดกันเลย จะได้ $4$ ช่องดังนี้
$$\_ G \_ (RWR) \_ G \_$$
ดังนั้นกรณีนี้จะเลือกวางลูกแก้วสีขาวได้ $\binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2!2!} = 6$ วิธี
กรณี $GGRR$
จะเห็นว่ากรณีนี้จำเป็นจะต้องวางลูกแก้วสีขาวลงไปคั่นกลางทั้งระหว่างสีเขียวและระหว่างสีแดงอย่างละลูกดังนี้
$$GWGRWR$$
จากนั้นลองเขียนตำแหน่งช่องว่างสำหรับวางลูกแก้วสีขาวอีก $1$ ลูกที่เหลือ
$$\_ (GWG) \_ (RWR) \_$$
ซึ่งจะเห็นว่าเลือกวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก $1$ ลูกได้ $3$ ตำแหน่ง จึงมีจำนวนวิธีวางได้ $\binom{3}{1} = 3$ วิธี
กรณี $RRGG$
จะเห็นว่ากรณีนี้จำเป็นจะต้องวางลูกแก้วสีขาวลงไปคั่นกลางทั้งระหว่างสีเขียวและระหว่างสีแดงอย่างละลูกดังนี้
$$RWRGWG$$
จากนั้นลองเขียนตำแหน่งช่องว่างสำหรับวางลูกแก้วสีขาวอีก $1$ ลูกที่เหลือ
$$\_ (RWR) \_ (GWG) \_$$
ซึ่งจะเห็นว่าเลือกวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก $1$ ลูกได้ $3$ ตำแหน่ง จึงมีจำนวนวิธีวางได้ $\binom{3}{1} = 3$ วิธี
นับรวมจำนวนวิธีทั้งหมดได้
$$20+6+6+3+3 = 38\text{ วิธี}$$
[ANS]$38$[/ANS]
