มีลูกแก้วขนาดเดียวกัน $7$ ลูก เป็นลูกแก้วสีแดง $2$ ลูก ลูกแก้วสีเขียว $2$ ลูก  และลูกแก้วสีขาว $3$ ลูก ต้องจัดเรียงลูกแก้วทั้ง $7$ ลูกเป็นแถวตรงโดยที่ลูกแก้วสองลูกใด ๆ ที่เรียงติดกันมีสีแตกต่างกัน จำนวนวิธีจัดเรียงลูกแก้วดังกล่าวเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]นับวิธีเรียงลูกแก้วสีแดงและสีเขียวลงไปก่อนแล้ววางสีขาว $3$ ลูกลงในช่องว่าง[/step]

จากโจทย์ ต้องการนำลูกแก้วมาเรียงเป็นเส้นตรง $7$ ลูก

โดยเลือกมาจาก  

สีแดง(ขนาดเท่ากัน) $R$ สีเขียว(ขนาดเท่ากัน) $G$ สีขาว(ขนาดเท่ากัน) $W$
$2$  ลูก $2$  ลูก $3$  ลูก

โดยไม่ให้ลูกที่มีสีเดียวกันว่างอยู่ติดกัน

สมมติ ไม่มีลูกแก้วสีขาว

ถ้าเราเรียงลูกแก้วสีแดง  $2$  ลูก  และ  เขียว $2$  ลูก โดยไม่ได้มีสีเดียวกันวางติดกัน  มีวิธีวางไว้ $2$ วิธีกว่านั้นคือ

$$R\quad G\quad R \quad G\qquad\qquad\text{หรือ}\qquad\qquad R \quad G \quad R \quad G$$

เมื่อจะวางลูกแก้วสีขาวเพิ่ม เราก็วางเพิ่มได้ในช่องว่างซึ่งต้องนับรวมหน้าสุดและหลังสุดด้วย

_ $R$ _ $G$ _ $R$ _ $G$ _

จะได้ในช่องว่าง $5$ ช่อง สำหรับวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก $3$ ลูก

จึงได้วิธีว่างทั้งหมด

$$\binom{5}{3} = \dfrac{5 !}{3!  (5-3)!} = \dfrac{5 \times 4}{2 !} = 10\quad\text{วิธี}$$

รวมทั้ง $2$  กรณี 

คือ  _ $R$ _ $G$ _ $R$ _ $G$ _   

และ  _ $G$ _ $R$ _ $G$ _ $R$ _ 

จะได้จำนวนวิธีเรียงลูกแก้วแบบไม่มีสีใดติดกันเลยจากวิธีข้างต้นทั้งหมด $10\times 2 = 20$ วิธี

*แต่เมื่อวางลูกสีขาวคั่นกลาง เราพบว่า เราอาจเปลี่ยนตำแหน่งของลูกแก้วสีเขียวและสีแดงได้เพิ่มอีก

[step]นับจำนวนวิธีวางลูกแก้วที่แตกต่างจากขั้นตอนแรก[/step]

จากขั้นตอนแรก เราพบว่าลูกแก้วสีเขียวและสีแดงถูกจัดเรียงในเพียง $2$ ลำดับเท่านั้น คือ $RGRG$ และ $GRGR$ ซึ่งยังขาดกรณีที่เริ่มต้นสีแดงหรือสีเขียวหรือทั้งสองสีติดกัน เช่น $RGGR$, $GRRG$, $GGRR$ หรือ $RRGG$ เป็นต้น โดยแต่ละวิธีเหล่านี้จะวางลูกแก้วสีขาวตามลงไปได้จำนวนไม่เท่ากันดังนี้

กรณี $\bf{RGGR}$

จะเห็นว่าเราจะต้องวางลูกแก้วสีขาวหนึ่งลูกลงไปคั่นกลางระหว่างสีเขียว $2$ ลูกก่อน

$$RGWGR$$

ซึ่งเมื่อลองเขียนช่องว่างที่จะวางลูกสีขาวลงไปเพิ่มแบบไม่ให้มีสีใดติดกันเลย จะได้ $4$ ช่องดังนี้

$$\_ R \_ (GWG) \_ R \_$$

ดังนั้นกรณีนี้จะเลือกวางลูกแก้วสีขาวได้ $\binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2!2!} = 6$ วิธี

กรณี $\bf{GRRG}$

จะเห็นว่าเราจะต้องวางลูกแก้วสีขาวหนึ่งลูกลงไปคั่นกลางระหว่างสีแดง $2$ ลูกก่อน

$$GRWRG$$

ซึ่งเมื่อลองเขียนช่องว่างที่จะวางลูกสีขาวลงไปเพิ่มแบบไม่ให้มีสีใดติดกันเลย จะได้ $4$ ช่องดังนี้

$$\_ G \_ (RWR) \_ G \_$$

ดังนั้นกรณีนี้จะเลือกวางลูกแก้วสีขาวได้ $\binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2!2!} = 6$ วิธี

กรณี $GGRR$

จะเห็นว่ากรณีนี้จำเป็นจะต้องวางลูกแก้วสีขาวลงไปคั่นกลางทั้งระหว่างสีเขียวและระหว่างสีแดงอย่างละลูกดังนี้

$$GWGRWR$$

จากนั้นลองเขียนตำแหน่งช่องว่างสำหรับวางลูกแก้วสีขาวอีก $1$ ลูกที่เหลือ

$$\_ (GWG) \_ (RWR) \_$$

ซึ่งจะเห็นว่าเลือกวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก $1$ ลูกได้ $3$ ตำแหน่ง จึงมีจำนวนวิธีวางได้ $\binom{3}{1} = 3$ วิธี

กรณี $RRGG$

จะเห็นว่ากรณีนี้จำเป็นจะต้องวางลูกแก้วสีขาวลงไปคั่นกลางทั้งระหว่างสีเขียวและระหว่างสีแดงอย่างละลูกดังนี้

$$RWRGWG$$

จากนั้นลองเขียนตำแหน่งช่องว่างสำหรับวางลูกแก้วสีขาวอีก $1$ ลูกที่เหลือ

$$\_ (RWR) \_ (GWG) \_$$

ซึ่งจะเห็นว่าเลือกวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก $1$ ลูกได้ $3$ ตำแหน่ง จึงมีจำนวนวิธีวางได้ $\binom{3}{1} = 3$ วิธี

นับรวมจำนวนวิธีทั้งหมดได้

$$20+6+6+3+3 = 38\text{ วิธี}$$

[ANS]$38$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การเรียงของที่ห้ามบางส่วนติดกัน