มีลูกแก้วขนาดเดียวกัน ลูก เป็นลูกแก้วสีแดง ลูก ลูกแก้วสีเขียว ลูก และลูกแก้วสีขาว ลูก ต้องจัดเรียงลูกแก้วทั้ง ลูกเป็นแถวตรงโดยที่ลูกแก้วสองลูกใด ๆ ที่เรียงติดกันมีสีแตกต่างกัน จำนวนวิธีจัดเรียงลูกแก้วดังกล่าวเท่ากับเท่าใด
,
จากโจทย์ ต้องการนำลูกแก้วมาเรียงเป็นเส้นตรง ลูก
โดยเลือกมาจาก
สีแดง(ขนาดเท่ากัน) | สีเขียว(ขนาดเท่ากัน) | สีขาว(ขนาดเท่ากัน) |
---|---|---|
ลูก | ลูก | ลูก |
โดยไม่ให้ลูกที่มีสีเดียวกันว่างอยู่ติดกัน
สมมติ ไม่มีลูกแก้วสีขาว
ถ้าเราเรียงลูกแก้วสีแดง ลูก และ เขียว ลูก โดยไม่ได้มีสีเดียวกันวางติดกัน มีวิธีวางไว้ วิธีกว่านั้นคือ
เมื่อจะวางลูกแก้วสีขาวเพิ่ม เราก็วางเพิ่มได้ในช่องว่างซึ่งต้องนับรวมหน้าสุดและหลังสุดด้วย
_ _ _ _ _
จะได้ในช่องว่าง ช่อง สำหรับวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก ลูก
จึงได้วิธีว่างทั้งหมด
รวมทั้ง กรณี
คือ _ _ _ _ _
และ _ _ _ _ _
จะได้จำนวนวิธีเรียงลูกแก้วแบบไม่มีสีใดติดกันเลยจากวิธีข้างต้นทั้งหมด วิธี
*แต่เมื่อวางลูกสีขาวคั่นกลาง เราพบว่า เราอาจเปลี่ยนตำแหน่งของลูกแก้วสีเขียวและสีแดงได้เพิ่มอีก
,
จากขั้นตอนแรก เราพบว่าลูกแก้วสีเขียวและสีแดงถูกจัดเรียงในเพียง ลำดับเท่านั้น คือ และ ซึ่งยังขาดกรณีที่เริ่มต้นสีแดงหรือสีเขียวหรือทั้งสองสีติดกัน เช่น , , หรือ เป็นต้น โดยแต่ละวิธีเหล่านี้จะวางลูกแก้วสีขาวตามลงไปได้จำนวนไม่เท่ากันดังนี้
กรณี
จะเห็นว่าเราจะต้องวางลูกแก้วสีขาวหนึ่งลูกลงไปคั่นกลางระหว่างสีเขียว ลูกก่อน
ซึ่งเมื่อลองเขียนช่องว่างที่จะวางลูกสีขาวลงไปเพิ่มแบบไม่ให้มีสีใดติดกันเลย จะได้ ช่องดังนี้
ดังนั้นกรณีนี้จะเลือกวางลูกแก้วสีขาวได้ วิธี
กรณี
จะเห็นว่าเราจะต้องวางลูกแก้วสีขาวหนึ่งลูกลงไปคั่นกลางระหว่างสีแดง ลูกก่อน
ซึ่งเมื่อลองเขียนช่องว่างที่จะวางลูกสีขาวลงไปเพิ่มแบบไม่ให้มีสีใดติดกันเลย จะได้ ช่องดังนี้
ดังนั้นกรณีนี้จะเลือกวางลูกแก้วสีขาวได้ วิธี
กรณี
จะเห็นว่ากรณีนี้จำเป็นจะต้องวางลูกแก้วสีขาวลงไปคั่นกลางทั้งระหว่างสีเขียวและระหว่างสีแดงอย่างละลูกดังนี้
จากนั้นลองเขียนตำแหน่งช่องว่างสำหรับวางลูกแก้วสีขาวอีก ลูกที่เหลือ
ซึ่งจะเห็นว่าเลือกวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก ลูกได้ ตำแหน่ง จึงมีจำนวนวิธีวางได้ วิธี
กรณี
จะเห็นว่ากรณีนี้จำเป็นจะต้องวางลูกแก้วสีขาวลงไปคั่นกลางทั้งระหว่างสีเขียวและระหว่างสีแดงอย่างละลูกดังนี้
จากนั้นลองเขียนตำแหน่งช่องว่างสำหรับวางลูกแก้วสีขาวอีก ลูกที่เหลือ
ซึ่งจะเห็นว่าเลือกวางลูกแก้วสีขาวที่เหลืออีก ลูกได้ ตำแหน่ง จึงมีจำนวนวิธีวางได้ วิธี
นับรวมจำนวนวิธีทั้งหมดได้