ให้ $x$, $y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $x$ + $y$ +$z$ $=$ $15$ และสอดคล้องกับ

$$(z+1)^{x}=y^{2x} \text{ และ } (0.1)^{z} = (0.01)^{x}$$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]ทำฐานเลขชี้กำลังให้เท่ากัน[/STEP]

จากโจทย์กำหนด

$$(0.1)^z=(0.01)^x$$

ในการแก้โจทย์  สมการเลขชี้กำลังเราต้องทำฐานให้เท่ากันในที่นี้คือ  ใช้ฐานเป็น   $(0.1)$  จะได้

$$(0.1)^z=((0.1)^2)^x=(0.1)^{2x}$$

ดังนั้น $z$ $=$ $2x\qquad\cdots(1)$

[STEP]ทำเลขชี้กำลังให้เท่ากัน[/STEP]

และจากโจทย์กำหนด

$$(z+1)^{x}=y^{2x}$$

ในที่นี้  เราไม่ทราบค่าของ $z$ และ $y$  เราจึงพยายามทำให้เลขชี้กำลังเท่ากันแทนจึงได้

$$(z+1)^x = \left( y^2 \right)^x$$

ดังนั้น $z+1 = y^2$, $z=y^2-1\qquad\cdots(2)$

[step]หาค่า $y$[/step]

จาก $(1)$ และ $(2)$

\begin{eqnarray*}
2x &=& y^2-1\\
x&=& \frac{y^2-1}{2}\qquad\cdots(3)
\end{eqnarray*}

และจากโจทย์กำหนด $x+y+z=15$ เราแทนค่า $x$ และ $z$ จาก $(2)$ และ $(3)$ จึงได้

\begin{eqnarray*}
\frac{y^2-1}{2} +y + (y^2-1) &=& 15\\
\text{คูณ }2 \text{ ตลอดสมการ}&&\\
y^-1 + 2y +2\left(y^2-1\right) &=& 30\\
3y^2 +2y-33 &=& 0\\
(3y+11)(y-3) &=& 0\\
y&=& -\frac{11}{3},3
\end{eqnarray*}

เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จึงได้ $y=3$ เท่านั้น

แทนค่าได้ 

$$x=\frac{y^2-1}{2} = \frac{3^2-1}{2} = 4$$

และ 

$$z= y^2-1=3^2-1=8$$

จึงได้ว่า $y<x<z$

[ANS]ตัวเลือก B จึงถูกต้อง[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคการแก้สมการฟังก์ชันยกกำลังฟังก์ชัน