ถ้า $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $x^2$ + $2$ $\left|x-3\right|$ $-9>0$

และ $B$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $\left|x-3\right|$ $<2$

แล้ว $A\cap B$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[step]หาเซตคำตอบ $A$[/step]

แบ่งเป็น $2$ กรณี คือ

  • กรณี $x\geq3$
  • กรณี $x<3$

กรณี $x\geq3$

จะได้ว่า $\left|x-3\right| = (x-3)$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x^2+2\left|x-3\right| -9 &>& 0\\
x^2+2(x-3)-9 &>& 0\\
x^2+2x-15 &>& 0\\
(x+5)(x-3) &>& 0
\end{eqnarray*}

เขียนเส้นจำนวนระบายช่วงคำตอบที่เป็นบวก

รูปเซต-5, 3 ข้างๆ 2 เซต

แต่เนื่องจากว่ากรณีนี้ตอบได้เฉพาะ $x\geq3$ ดังนั้น เซตคำตอบในกรณีนี้ คือ $(3,\infty)$

กรณี $x<3$

จะได้ $\left|x-3\right| = (3-x)$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x^2+2\left|x-3\right| -9 &>& 0\\
x^2+2(3-x)-9 &>& 0\\
x^2+6-2x-9 &>&0\\
x^2-2x-3 &>&0\\
(x+1)(x-3) &>&0
\end{eqnarray*}

เขียนเส้นจำนวนระบายช่วงคำตอบที่เป็นบวก จะได้

รูปเซต -1,3 ช่วงบวก

ซึ่งจะได้เซตคำตอบเป็น $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$ แต่เนื่องจากกรณีนี้เราตอบได้เฉพาะ $x<3$ ดังนั้นเซตคำตอบในกรณีนี้ คือ $(-\infty,-1)$

รวมคำตอบของ $A=(-\infty,-1) \cup (3,\infty)$

[step]พิจาณาหาเซตคำตอบ $B$[/step]

อสมการ $\left|x-3\right| < 2$ จะแก้โดยการแบ่งตามช่วงของค่าสัมบูรณ์ที่จุด $x=3$ เช่นเดิมก็ได้ แต่เพื่อความไม่จำเจเราจะแก้อสมการค่าสัมบูรณ์นี้โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการา (ซึ่งทำได้เพราะฝั่งที่น้อยกว่าของอสมการมีค่าไม่ติดลบ) ซึ่งจะทำให้ $\left|x-3\right|^2 = (x-3)^2$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\left|x-3\right|^2 &<& 2^2\\
(x-3)^2 &<& 2^2\\
(x-3)^2-2^2 &<& 0\\
(x-3+2)(x-3-2) &<& 0\\
(x-1)(x-5) &<& 0
\end{eqnarray*}

เขียนเส้นคำตอบและระบายช่วงลบจะได้

รูปช่วงคำตอบ 1,5 ช่วงลบตรงกลาง

ซึ่งจะได้เซตคำตอบ $B=(1,5)$

[step]คำนวณ $A\cap B$ และพิจารณาตัวเลือก[/step]

จาก $A=(-\infty,-1)\cup (3,\infty)$ และ $B=(1,5)$ นำมาอินเตอร์เซกกันจะได้

รูปช่วงซ้ำ

$A\cap B = (3,5)$ ซึ่งเป็นสับเซตของ $(3,6)$ ช้อย D นั่นเอง

[ANS]D[/ANS]

ถ้าพิจารณาตัวเลือก จะพบว่า $4$ เป็นจำนวนที่น่าจะนำมาทดสอบว่าเป็นคำตอบของอสมการทั้งสองหรือไม่ ซึ่งก็คือ ทดสอบว่า $4$ อยู่ใน $A\cap B$ หรือไม่นั่นเอง เหตุที่เป็นเช่นนี้เพราะ $4$ เป็นจุดปลายของช้อย A และ C อีกทั้งยังเป็นสมาชิกในช้อยส์ D ด้วย

พิจารณาแทนค่า $4$ ลงในอสมการของ $A$

\begin{eqnarray*}
(4)^2 +2 \left|(4)-1 \right| -9 &=& 16+2(3)-9\\
&=& 13
&>& 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น $4\in A$

ทดลองแทนค่า $x=4$ ลงในอสมการของเซต $B$

$$\left|(4)-3\right| = 1 < 2$$

ซึ่งอสมการเป็นจริง ดังนั้น $4\in B$ ด้วยเช่นกัน เราจึงทราบว่า $4\in A\cap B$ ดังนั้น $4$ จะต้องอยู่ในช้อยส์คำตอบของเราด้วย ซึ่งเราพบว่ามีเพียงช้อยส์เดียวเท่านั้นที่มี $4$ เป็นสมาชิก นั่นคือ $(3,6)$ ช้อยส์ D เราจึงตอบช้อยส์ D

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์อย่างง่าย การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี