,

จากโจทย์กำหนดให้ตรวจสอบว่าจุดใดอยู่บนพาราโบลา $P$ ที่มีเส้นไดเรกตริกซ์เดียวกับเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา $y^2 + 8y -24x + 16 = 0$ *สังเกตว่าพาราโบลา $P$ กับพาราโบลา $y^2+8y-24x+16=0$ เป็นคนละรูปกัน

จัดรูปสมการพาราโบลา  $y^2 + 8y -24x + 16 = 0$

$$\begin{eqnarray*} y^2 + 8y  - 24x + 16 &=& 0\\ y^2 + 8y + 16 &=& 24x  \\ \left( y+4 \right)^2 &=& 4 (6) x \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นพาราโบลานี้มีจุด $(0,-4)$ เป็นจุดยอด มีค่า $c=6$ และเป็นพาราโบลาเปิดขวา ทำให้เส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลานี้อยู่ทางซ้ายของจุดยอดออกไป $6$ หน่วย ดังรูป

ดังนั้นสมการไดเรกตริกซ์ของพาราโบลารูปนี้ คือ $x=-6$

,

จากโจทย์กำหนด จุดโฟกัสของ $P$ อยู่บนเส้นตรง $x+2y=4$ และโฟกัสต้องอยู่บนแกนสมมาตร $y=3$ ดังนั้นจุดโฟกัส คือ จุดที่เป็นจุดตัดของ $x+2y=4$ และ $y=3$

แก้สมการหาจุดตัด โดยแทนค่า $y=3$ ลงในสมการ $x+2y = 4$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} x+2(3) &=& 4 \\ x &=& -2 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจุดตัดนี้ คือ $(-2,3)$ ซึ่งจะเป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา $P$ ด้วย

ทดลองวาดรูปประกอบ โดยลงจุดโฟกัส $(-2,3)$ และเส้นไดเรกตริกซ์ของ $P: x=-6$

จะเห็นว่าจุดยอดจะต้องอยู่ระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์ ซึ่งต้องมีพิกัด $y$ เดียวกันกับโฟกัส คือ $3$ และจะต้องมีพิกัด $x$ เป็นค่ากึ่งกลางระหว่าง $-6$ กับ $-2$ ซึ่งคำนวณได้จาก $\dfrac{-6-2}{2} = -4$ ดังนั้นจุดยอดของ $P$ คือ $(h,k) = (-4,3)$

นอกจากนั้นค่า $c$ ของพาราโบลา $P$ คือ ระยะระหว่างจุดยอดไปยังไดเรกตริกซ์ หรือไปยังโฟกัส ซึ่งเท่ากับ $2$ *เป็นบวกเพราะพาราโบลา $P$ เป็นพาราโบลาเปิดด้านขวา

แทนค่าจุดยอด $(h,k) = (-4,3)$ และ $c=2$ ลงในสมการมาตรฐานของพาราโบลาเปิดขวา $(y-k)^2 = 4c(x-h)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left( y - 3 \right)^2 &=& 4(2) \left( x- (-4) \right) \\ (y-3)^2 &=& 8(x+4) \\ \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นสมการพาราโบลา $P$ คือ $(y-3)^2 = 8(x+4)$

,

แทนค่าจุดในช้อยส์ลงในสมการพาราโบลา $P: (y-3)^2  = 8(x+4)$

ช้อยส์ A $(-7,1)$

$$\begin{eqnarray*} ((1)-3)^2 &\neq & 8\left((-7)+4\right)  \\ (-2)^2 &\neq & 8(-3) \\ 4 &\neq & -24 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจุด $(-7,1)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ B $(-4,0)$

$$\begin{eqnarray*} ((0)-3)^2 &\neq & 8\left((-4)+4\right)  \\ (-3)^2 &\neq & 8(0)\\ 9 &\neq & 0 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจุด $(-4,0)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ C $(-1,1)$

$$\begin{eqnarray*} ((1)-3)^2 &\neq& 8\left( (-1)+4 \right)\\ (-2)^2 &\neq& 8(3)\\ 4 &\neq & 24 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจุด $(-1,1)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ D $(2,-4)$

$$\begin{eqnarray*} ((-4)-3)^2 &\neq & 8((2)+4) \\ (-7)^2 &\neq& 8(6)\\ 49 &\neq & 48 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจุด $(2,-4)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ E $(4,-5)$

$$\begin{eqnarray*} ((-5)-3)^2 &\square& 8((4)+4) \\ (-8)^2 &\square& 8(8)\\ 64 &=& 64 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $((-5)-3)^2 = 8((4)+4)$ ซึ่งทำให้เราทราบว่าจุด $(4,-5)$ อยู่บน $P$