,

จากโจทย์กำหนดให้ตรวจสอบว่าจุดใดอยู่บนพาราโบลา $P$ ที่มีเส้นไดเรกตริกซ์เดียวกับเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา $y^2 + 8y -24x + 16 = 0$ *สังเกตว่าพาราโบลา $P$ กับพาราโบลา $y^2+8y-24x+16=0$ เป็นคนละรูปกัน

จัดรูปสมการพาราโบลา  $y^2 + 8y -24x + 16 = 0$

\begin{eqnarray*}
y^2 + 8y  - 24x + 16 &=& 0\\
y^2 + 8y + 16 &=& 24x  \\
\left( y+4 \right)^2 &=& 4 (6) x
\end{eqnarray*}

ดังนั้นพาราโบลานี้มีจุด $(0,-4)$ เป็นจุดยอด มีค่า $c=6$ และเป็นพาราโบลาเปิดขวา ทำให้เส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลานี้อยู่ทางซ้ายของจุดยอดออกไป $6$ หน่วย ดังรูป

ดังนั้นสมการไดเรกตริกซ์ของพาราโบลารูปนี้ คือ $x=-6$

,

จากโจทย์กำหนด จุดโฟกัสของ $P$ อยู่บนเส้นตรง $x+2y=4$ และโฟกัสต้องอยู่บนแกนสมมาตร $y=3$ ดังนั้นจุดโฟกัส คือ จุดที่เป็นจุดตัดของ $x+2y=4$ และ $y=3$

แก้สมการหาจุดตัด โดยแทนค่า $y=3$ ลงในสมการ $x+2y = 4$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x+2(3) &=& 4 \\
x &=& -2
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุดตัดนี้ คือ $(-2,3)$ ซึ่งจะเป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา $P$ ด้วย

ทดลองวาดรูปประกอบ โดยลงจุดโฟกัส $(-2,3)$ และเส้นไดเรกตริกซ์ของ $P: x=-6$

จะเห็นว่าจุดยอดจะต้องอยู่ระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์ ซึ่งต้องมีพิกัด $y$ เดียวกันกับโฟกัส คือ $3$ และจะต้องมีพิกัด $x$ เป็นค่ากึ่งกลางระหว่าง $-6$ กับ $-2$ ซึ่งคำนวณได้จาก $\dfrac{-6-2}{2} = -4$ ดังนั้นจุดยอดของ $P$ คือ $(h,k) = (-4,3)$

นอกจากนั้นค่า $c$ ของพาราโบลา $P$ คือ ระยะระหว่างจุดยอดไปยังไดเรกตริกซ์ หรือไปยังโฟกัส ซึ่งเท่ากับ $2$ *เป็นบวกเพราะพาราโบลา $P$ เป็นพาราโบลาเปิดด้านขวา

แทนค่าจุดยอด $(h,k) = (-4,3)$ และ $c=2$ ลงในสมการมาตรฐานของพาราโบลาเปิดขวา $(y-k)^2 = 4c(x-h)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left( y - 3 \right)^2 &=& 4(2) \left( x- (-4) \right) \\
(y-3)^2 &=& 8(x+4) \\
\end{eqnarray*}

ดังนั้นสมการพาราโบลา $P$ คือ $(y-3)^2 = 8(x+4)$

,

แทนค่าจุดในช้อยส์ลงในสมการพาราโบลา $P: (y-3)^2  = 8(x+4)$

ช้อยส์ A $(-7,1)$

\begin{eqnarray*}
((1)-3)^2 &\neq & 8\left((-7)+4\right)  \\
(-2)^2 &\neq & 8(-3) \\
4 &\neq & -24
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุด $(-7,1)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ B $(-4,0)$

\begin{eqnarray*}
((0)-3)^2 &\neq & 8\left((-4)+4\right)  \\
(-3)^2 &\neq & 8(0)\\
9 &\neq & 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุด $(-4,0)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ C $(-1,1)$

\begin{eqnarray*}
((1)-3)^2 &\neq& 8\left( (-1)+4 \right)\\
(-2)^2 &\neq& 8(3)\\
4 &\neq & 24
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุด $(-1,1)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ D $(2,-4)$

\begin{eqnarray*}
((-4)-3)^2 &\neq & 8((2)+4) \\
(-7)^2 &\neq& 8(6)\\
49 &\neq & 48
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจุด $(2,-4)$ ไม่อยู่บน $P$

ช้อยส์ E $(4,-5)$

\begin{eqnarray*}
((-5)-3)^2 &\square& 8((4)+4) \\
(-8)^2 &\square& 8(8)\\
64 &=& 64
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $((-5)-3)^2 = 8((4)+4)$ ซึ่งทำให้เราทราบว่าจุด $(4,-5)$ อยู่บน $P$