กำหนดให้ $P(S)$ แทนเพาเวอร์เซตของเซต $S$ และ $n(S)$ แทนจำนวนสมาชิกของเซต $S$

ให้ $A,B,C$ เป็นเซตจำกัด โดยที่ $B\subset A$ และ $A\cap C \neq \emptyset$

ถ้า $n(P(P(B)))=n(P(B\cup C))=16$ , $n(B\cap C) =1 , n(A\cap C)=2$ และ $n(P(A-C))=4n(P(C-A))$

แล้ว $n(P(A))$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]คำนวณ $n(B)$ และ $n(B\cup C)$ จาก $n(P(P(B))) = n(P(B\cup C)) = 16$[/step]

จากสมการ $n(P(P(B))) = n(P(B\cup C)) = 16$ แบ่งออกได้เป็น $2$ สมการ คือ

\begin{eqnarray*}
n(P(P(B))) &=& 16 \\
n(P(B\cup C)) &=& 16
\end{eqnarray*}

ซึ่งสามารถใช้สูตรจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต $n(P(S)) = 2^{n(S)}$ หาจำนวนสมาชิกของ $B$ และ $B\cup C$ ได้

เริ่มต้นจากสมการแรก

\begin{eqnarray*}
n(P(P(B))) &=& 16\\
2^{n(P(B))} &=& 2^4\\
n(P(B)) &=& 4
\end{eqnarray*}

จากนั้นใช้สูตรเดิมอีกครั้ง

\begin{eqnarray*}
n(P(B)) &=& 4\\
2^{n(B)} &=& 2^2\\
n(B) &=& 2
\end{eqnarray*}

ในทำนองเดียวกัน สมการที่สองก็ใช้สูตร $n(P(S)) = 2^{n(S)}$ หาจำนวนสมาชิกของ $B\cup C$ ได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
n(P(B\cup C )) &=& 16\\
2^{n(B\cup C)} &=& 2^4\\
n(B\cup C) &=& 4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $n(B) = 2$ และ $n(B\cup C) = 4$

[step]วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์เพื่อหาจำนวนสมาชิกในทุกส่วน[/step]

โจทย์กล่าวถึง $3$ เซต คือ $A,B$ และ $C$ โดยปรกติเราจะวาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แบบมีสามวงตัดกันมากที่สุด (แบบโลโก้ช่อง $7$ สี) แต่ข้อนี้เราทราบว่า $B\subset A$ เราจึงวาด $B$ เป็นวงเล็กอยู่ในวง $A$ ดังรูป

จากนั้นเราจึงวาดเซต $C$ ให้ตัดกันมากที่สุดที่เป็นไปได้ดังรูป

จากนั้นใช้ข้อมูลที่โจทย์ให้มา $n(B\cap C) = 1$ ใส่เลข $1$ ลงในรูปตรง $B\cap C$

นอกนั้นโจทย์ยังบอกว่า $n(A\cap C) = 2$ ซึ่งส่วนของ $A\cap C$ แบ่งเป็น $2$ ชิ้น คือชิ้นที่เพิ่งลงตัวเลข $1$ ไป กับอีกชิ้นที่เหลือ เมื่อทั้งสองชิ้นต้องมีสมาชิกรวมกันเป็น $2$ อีกชิ้นที่เหลือจึงต้องมีสมาชิก $1$ ตัว ดังรูป

จากข้อมูลที่คำนวณได้จากขั้นตอนที่แล้ว $n(B)=2$ ซึ่งจะเห็นว่า $B$ ถูกแบ่งเป็น $2$ ชิ้น โดยชิ้นหนึ่งเป็น $1$ อีกชิ้นจึงเป็น $1$ ด้วย เพราะต้องรวมกันได้ $2$

 และจากข้อมูลสุดท้าย $n(B\cup C) = 4$ ทำให้เราทราบว่าอีกชิ้นส่วนสุดท้ายของ $C$ มีสมาชิก $1$ ตัวเพราะต้องรวมกันทั้ง $4$ ชิ้นแล้วมีสมาชิกเป็น $4$ ชิ้นพอดี

จะเห็นว่ามีเพียงชิ้นส่วนเดียวที่ยังไม่มีจำนวนสมาชิกระบุไว้ในแผนภาพ เราจึงกำหนดตัวแปรให้เป็น $x$ ทำให้เราได้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ที่สมบูรณ์ของเซตทั้งสาม

[step]แก้สมการ $n(P(A-C)) = 4n(P(C-A))$ หาค่า $x$[/step]

จากสมการ  $n(P(A-C)) = 4n(P(C-A))$ ใช้สูตร $n(P(S)) = 2^{n(S)}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
n(P(A-C)) &=& 4n(P(C-A))\\
2^{n(A-C)} &=& 4\cdot 2^{n(C-A)}\\
2^{n(A-C)} &=& 2^2 \cdot 2^{n(C-A)}\\
2^{n(A-C)} &=& 2^{2+n(C-A)}\\
n(A-C) &=& 2+n(C-A)
\end{eqnarray*}

แทนค่า $n(A-C)=1+x$ และ $n(C-A) = 1$ จากข้อมูลในแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ลงไปในสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
n(A-C) &=& 2+n(C-A) \\
1+x &=& 2+1\\
\cancel{1} +x &=& 2+\cancel{1}\\
x&=& 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=2$

[step]คำนวณ $n(P(A))$[/step]

จาก $x=2$ จะได้ว่า $n(A) = 1+1+1+x = 1+1+1+2 = 5$

ดังนั้นจากสูตร $n(P(S)) = 2^{n(S)}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
n(P(A)) &=& 2^{n(A)}\\
&=& 2^{5}\\
&=& 32
\end{eqnarray*}

[ANS]$32$[/ANS]