กำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
x^{3}&,&x<-1\\
ax+b&,&-1\leq x<1\\
3x^{2}+2&,&x\geq1
\end{array}\right.$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้าฟังก์ชัน $f$ ต่อเนื่องสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ แล้ว $\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x) dx$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาที่จุด $x = -1$[/STEP]

$f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = -1$ แสดงว่า $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ หาค่าได้

ลิมิตซ้าย

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x) &=& \lim_{x \rightarrow -1^{-}} x^3\\
&=& (-1)^3\\
&=& -1
\end{eqnarray*}

ลิมิตขวา

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x) &=& \lim_{x \rightarrow -1^{+}} (ax+b)\\
&=& -a + b
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ หาค่าได้ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x) &=& \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)\\
-1 &=& -a + b\\
a - b &=& 1 \;\;----\;(1)
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาที่จุด $x = 1$[/STEP]

$f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = 1$ แสดงว่า $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ หาค่าได้

ลิมิตซ้าย

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) &=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (ax + b)\\
&=& a + b
\end{eqnarray*}

ลิมิตขวา

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) &=& \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (3x^2 + 2)\\
&=& 3+2\\
&=& 5
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ หาค่าได้ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) &=& \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\\
a+b &=& 5 \;\;----\;(2)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
a - b &=& 1 &----&(1)\\
a+b &=& 5 &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำ $(1) + (2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(a-b) + (a+b) &=& 1+5\\
2a &=& 6\\
a &=& 3
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(2)$

\begin{eqnarray*}
3 + b &=& 5\\
b &=& 2
\end{eqnarray*}

[STEP]อินทิเกรตหาคำตอบ[/STEP]

เราได้ฟังก์ชัน $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
x^{3}&,&x<-1\\
3x+2&,&-1\leq x<1\\
3x^{2}+2&,&x\geq1
\end{array}\right.$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{2} f(x) dx &=& \int_{-2}^{-1} x^3 dx + \int_{-1}^{1} (3x+2) dx + \int_{1}^{2} (3x^2 + 2) dx\\
&=& \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{-1} + \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{1} + \left[ x^3 + 2x \right]_{1}^{2}\\
&=& \left(\frac{1}{4} - \frac{16}{4}\right) + \left[\left( \frac{3}{2} + 2 \right) - \left(\frac{3}{2} - 2\right) \right] + \left[ (8+4) - (1+2) \right]\\
&=& -\frac{15}{4} + \frac{7}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right) + 12 - 3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{2} f(x) &=& -\frac{15}{4} + \frac{8}{2} + 9\\
&=& -\frac{15}{4} + 13\\
&=& \frac{37}{4}\\
&=& 9.25
\end{eqnarray*}

[ANS]$9.25$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความต่อเนื่อง การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต ปริพันธ์และการอินทิเกรต