,

เนื่องจาก $6x - y = 4$ ตัดกราฟที่ $x=2$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 6(2) - y &=& 4\\ 12 - y &=& 4\\ 8 &=& y \end{eqnarray*}$$

เส้นตรงและกราฟตัดกันที่จุด $(2, 8)$ แสดงว่ากราฟ $y = f(x)$ ผ่านจุด $(2, 8)$ จะได้ $8 = f(2)$

,

จากนิยาม $\displaystyle f'(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} f'(2) &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}\\ &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - 8}{x - 2} \end{eqnarray*}$$

,

เนื่องจากมีสแควรูท เราจึงจัดรูปโดยการคูณด้วยคอนจูเกต

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{1 + f(x)} - 3} &=& 6\\ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{1 + f(x)} - 3} \cdot \frac{\sqrt{1 + f(x)} + 3}{\sqrt{1 + f(x)} + 3} &=& 6\\ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x^2 + x - 6)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)}{[1 + f(x)] - 9} &=& 6\\ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x - 2)(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)}{f(x) - 8} &=& 6 \end{eqnarray*}$$

จัดรูปโดยการนำ $x-2$ ไปอยู่กับ $f(x) - 8$ แล้วแยกลิมิต

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)}{\frac{f(x) - 8}{x-2}} &=& 6\\ \frac{\lim_{x \rightarrow 2} \left[(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)\right]}{\lim_{x \rightarrow 2} {\frac{f(x) - 8}{x-2}}} &=& 6 \end{eqnarray*}$$

ซึ่ง $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - 8}{x - 2} = f'(2)$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{x \rightarrow 2} \left[(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)\right]}{f'(2)} &=& 6\\ (2+3)(\sqrt{1 + f(2)} + 3) &=&  6 f'(2)\\ (5)(\sqrt{1+8} + 3) &=& 6 f'(2)\\ (5)(6) &=& 6 f'(2) \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} (5)(\cancel{6}) &=& \cancel{6} f'(2)\\ 5 &=& f'(2) \end{eqnarray*}$$