ในการสำรวจความชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ภาษาไทย และภาษาอังกฤษ ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง พบว่า

มีนักเรียนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ $150$ คน
มีนักเรียนชอบเรียนวิชาภาษาไทย $80$ คน
มีนักเรียนชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ $60$ คน
และ มีนักเรียนชอบทั้งสามวิชา $30$ คน

นักเรียนกลุ่มนี้มีจำนวนอย่างมากกี่คน

 

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์และวิเคราะห์การเติมจำนวนสมาชิก[/STEP]

กำหนดชื่อเซตดังต่อไปนี้

$M$ แทน เซตของนักเรียนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์
$T$ แทน เซตของนักเรียนชอบเรียนวิชาภาษาไทย
$E$ แทน เซตของนักเรียนชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

จะเห็นว่าข้อมูลประกอบด้วย $3$ เซต เราจึงวาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์เป็นวงกลม $3$ วง และจากข้อมูลจำนวนนักเรียนที่ชอบทั้ง $3$ วิชาที่มี $30$ คน เราจึงเติมตัวเลขในช่องตรงกลางลงไปเป็น $30$ ดังรูป

จากข้อมูลจำนวนนักเรียนชอบเรียนแต่ละวิชา เช่น วิชาคณิตศาสตร์ มีนักเรียนชอบ $150$ คน ซึ่งเราทราบแน่ๆ มี $30$ คนไปอยู่ตรงกลาง ส่วนที่เหลืออีก $120$ คน เราจะมาวิเคราะห์กันว่าควรจะไปอยู่ส่วนไหนของแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์นี้ จึงจะทำให้จำนวนนักเรียนกลุ่มนี้ทั้งหมดมีค่ามากที่สุดตามที่โจทย์ต้องการ

เนื่องจาก $120$ คนที่เหลือ เป็นนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ จึงต้องอยู่ในวงของเซต $M$ แต่ไม่ใช่ส่วนที่มีตัวเลข $30$ อยู่แล้ว ซึ่งมีให้เลือกทั้งหมด $3$ ช่องตามภาพประกอบ

วิธีการที่จะทำให้มีจำนวนนักเรียนรวมทั้งกลุ่มมากที่สุด คือ พยายามกำหนดให้นักเรียนแต่ละคนชอบจำนวนวิชาน้อยที่สุด เพื่อให้คนๆ เดียว ถูกนับซ้ำกันน้อยที่สุด หรือพูดง่ายๆ ว่าเราจะต้องพยายามหลีกเลี่ยงไม่ให้นักเรียน $120$ คนที่เหลือไปอยู่ในช่องหมายเลข $1$ กับ $3$ เพราะจะทำให้ $120$ คนนี้ชอบวิชาอื่นนอกจากคณิตศาสตร์ไปด้วย ดังนั้นเราจึงเลือกให้ทั้ง $120$ คนไปอยู่ในช่องหมายเลข $2$ ซึ่งจะเป็นผู้ที่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพียงวิชาเดียว

ในทำนองเดียวกัน สำหรับวิชาภาษาไทย และวิชาภาษาอังกฤษเราก็ต้องพยายามให้คนส่วนใหญ่ไปอยู่ในช่องที่ชอบวิชาเดียวมากที่สุดเช่นเดียวกัน ดังนั้นเราจึงแรเงาส่วนที่ชอบ $2$ วิชาพร้อมกันทิ้งไป แล้วเลือกเติมตัวเลขในส่วนที่เหลือแทน โดยเรากำหนดตัวแปรของชิ้นส่วนที่เหลือในแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์เป็น $x,y,z$ ดังภาพ

[STEP]คำนวณ $n(M\cup T\cup E)$[/STEP]

จากแผนภาพเราได้จำนวนสมาชิกของเซตในสูตรยูเนียน $3$ เซตดังนี้

\begin{eqnarray*}
n\left(M\cap T\cap E\right) & = & 30\\
n\left(M\cap T\right) & = & 30\\
n\left(T\cap E\right) & = & 30\\
n\left(E\cap M\right) & = & 30
\end{eqnarray*}

ส่วนจำนวนสมาชิกของแต่ละเซตเราได้จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดมาให้อยู่แล้ว ดังนี้

\begin{eqnarray*}
n\left(M\right) & = & 150\\
n\left(T\right) & = & 80\\
n\left(E\right) & = & 60
\end{eqnarray*}

 

จากนั้นแทนค่าลงในสูตรยูเนียน $3$ เซต ซึ่งจะได้จำนวนสมาชิกของ $M\cup T\cup E$ ในกรณีที่จำนวนนักเรียนมากที่สุดตามที่โจทย์ต้องการ

\begin{eqnarray*}
n\left(M\cup T\cup E\right) & = & n\left(M\right) &+n\left(T\right) &+n\left(E\right)&-n\left(M\cap T\right)&-n\left(T\cap E\right)&-n\left(E\cap M\right)&+n\left(M\cap T\cap E\right)\\
 & = & 150 &+80 &+60 &-30 &-30 &-30+30\\
 & = & 230
\end{eqnarray*}

[ANS]$230$[/ANS]

จากแผนภาพในรูป

เราสามารถหาจำนวนนักเรียนทั้งหมด หรือ $n(M\cup T\cup E)$ จาก $n(M\cup T\cup E)=x+y+z+30$ โดยดูจากแผนภาพ จากนั้นหาค่าของ $x+y+z+30$ จากสมการ

\begin{eqnarray*}
x+30 & = & 150\quad\cdots\left(1\right)\\
y+30 & = & 80\quad\cdots\left(2\right)\\
z+30 & = & 60\quad\cdots\left(3\right)
\end{eqnarray*}

แล้วนำทั้งสามสมการนี้บวกกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
x+y+z+30+30+30 & = & 150+80+60\\
x+y+z+90 & = & 290
\end{eqnarray*}

จากนั้นลบด้วย $60$ ทั้งสองข้างของสมการ เพื่อให้ทางซ้ายกลายเป็น $x+y+z+30$ ตามที่เราต้องการ

\begin{eqnarray*}
x+y+z+90-60 & = & 290-60\\
x+y+z+30 & = & 230
\end{eqnarray*}

ซึ่งได้คำตอบเท่ากันกับวิธีด้านบน