จากการสำรวจประชากรของหมู่บ้านแห่งหนึ่ง ประกอบด้วยผู้หญิงร้อยละ 60 ของประชากรทั้งหมดในหมู่บ้านนี้ และมีอัตราส่วนของจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติ ต่อ จำนวนผู้หญิงที่มีสายตาปกติ เท่ากับ อัตราส่วนของจำนวนประชากรในหมู่บ้านนี้ที่มีสายตาผิดปกติ ต่อ จำนวนประชากรในหมู่บ้านนี้ที่มีสายตาปกติ 

พิจารณาข้อสรุปเกี่ยวกับจำนวนประชากรของหมู้บ้านนี้ ต่อไปนี้

(ก)  จำนวนผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติมีจำนวน 1.5 เท่าของจำนวนผู้ชายที่มีสายตาผิดปกติ

(ข)  จำนวนผู้ชายที่มีสายตาปกติมากกว่าจำนวนผู้หญิงสายตาปกติ

(ค) อัตราส่วนของจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติ ต่อ จำนวนผู้หญิงทั้งหมดในหมู่บ้านนี้ มากกว่าอัตราส่วนของจำนวนผู้ชายที่มีสายตาผิดปกติ ต่อ จำนวนผู้ชายทั้งหมดในหมู่บ้านนี้

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]กำหนดสัญลักษณ์ให้จำนวนประชากร[/STEP]

ประชากร ชาย หญิง
สายตาปกติ $a$ $b$
สายตาผิดปกติ $c$ $d$

[STEP]สร้างอัตราส่วนจำนวนประชากร[/STEP]

ผู้หญิงร้อยละ $60$ ดังนั้นจึงมีผู้ชายร้อยละ $40$

จะได้อัตราส่วนจำนวนผู้หญิงต่อผู้ชายคือ

\begin{eqnarray*}
\frac{b+d}{a+c} &=& \frac{60}{40}\\
\frac{b+d}{a+c} &=& \frac{3}{2} \;\;----\;(1)
\end{eqnarray*}

จาก อัตราส่วนของจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติ $(d)$ ต่อจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาปกติ $(b)$ เท่ากับ อัตราส่วนของจำนวนประชากรในหมู่บ้านนี้ที่มีสายตาผิดปกติ $(c+d)$ ต่อจำนวนประชากรในหมู่บ้านนี้ที่มีสายตาปกติ $(a+b)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{b} &=& \frac{c+d}{a+b}\\
ad + bd &=& bc + bd\\
ad &=& bc\\
\frac{a}{c} &=& \frac{b}{d}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา (ก)[/STEP]

กำหนดให้ $\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{a}{c} &=& k\\
a &=& ck
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
\frac{b}{d} &=& k\\
b &=& dk
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{b+d}{a+c} &=& \frac{3}{2}\\
\frac{dk + d}{ck  +c} &=& \frac{3}{2}\\
\frac{\cancel{(k+1)}d}{\cancel{(k+1)}c} &=& \frac{3}{2}\\
\frac{d}{c} &=& \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $d$ คือจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาผิดปกติ และ $c$ คือจำนวนผู้ชายที่มีสายตาผิดปกติ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
d &=& \frac{3}{2} c\\
&=& 1.5 c
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ก) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ข)[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
\frac{a}{c} &=& \frac{b}{d}\\
\frac{a}{b} &=& \frac{c}{d} \;\;----\;(2)
\end{eqnarray*}

และจากข้อ (ก)

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{c} &=& \frac{3}{2}\\
\frac{c}{d} &=& \frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

แทนค่ากลับไปในสมการ $(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{a}{b} &=& \frac{c}{d}\\
\frac{a}{b} &=& \frac{2}{3}\\
a &=& \frac{2}{3} b
\end{eqnarray*}

หมายความว่า $a < b$ นั่นคือ จำนวนผู้ชายที่มีสายตาปกติ น้อยกว่าจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาปกติ

ดังนั้น (ข) ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ค)[/STEP]

โจทย์บอกว่า $\displaystyle \frac{d}{b+d} > \frac{c}{a+c}$

จาก

\begin{eqnarray*}
\frac{a}{c} &=& \frac{b}{d}\\
\frac{a}{c} +1 &=& \frac{b}{d} +1\\
\frac{a+c}{c} &=& \frac{b+d}{d}\\
\frac{c}{a+c} &=& \frac{d}{b+d}
\end{eqnarray*}

แสดงว่าที่โจทย์กำหนดมานั้นไม่ถูกต้อง

ดังนั้น (ค) ไม่ถูกต้อง

[ANS](ก) ถูกเพียงข้อเดียว[/ANS]

ข้อนี้ออกแนวปัญหาเชาว์ ให้เราพยายามจัดรูปจากข้อมูลที่มี ให้ออกมากเป็นสิ่งที่โจทย์ถามให้ได้