กำหนดให้ $\vec{a}$ และ $\vec{b}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ 

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)  ถ้า $\vec{a}$ ขนานกับ $\vec{b}$ แล้ว $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|-\left|\vec{b}\right|$

(ข)  ถ้า $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^2+\left|\vec{b}\right|^2$ แล้ว $\vec{a}$ ตั้งฉากกับ $\vec{b}$

(ค)  ถ้าเวกเตอร์ $\vec{a}+\vec{b}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\vec{a}-\vec{b}$ แล้ว $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา (ก)[/STEP]

$\vec{a}$ ขนานกับ $\vec{b}$ แสดงว่า มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเป็น $0^\circ$ หรือ $180^\circ$

ถ้า $\theta = 0^\circ$ จะได้

\begin{eqnarray*}
|\vec{a} - \vec{b}|^2 &=& |\vec{a}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\\
&=& |\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos 0^\circ + |\vec{b}|^2\\
&=& |\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2
\end{eqnarray*}

รวบเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
|\vec{a} - \vec{b}|^2 &=& (|\vec{a}| - |\vec{b}|)^2\\
|\vec{a} - \vec{b}| &=& |\vec{a}| - |\vec{b}|
\end{eqnarray*}

ถ้า $\theta = 180^\circ$ จะได้

\begin{eqnarray*}
|\vec{a} - \vec{b}|^2 &=& |\vec{a}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\\
&=& |\vec{a}|^2 - 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos 180^\circ + |\vec{b}|^2\\
&=& |\vec{a}|^2 + 2 |\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2
\end{eqnarray*}

รวบเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
|\vec{a} - \vec{b}|^2 &=& (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2\\
|\vec{a} - \vec{b}| &=& |\vec{a}| + |\vec{b}|\\
&\neq& |\vec{a}| - |\vec{b}|
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ก) ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ข)[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{a}+\vec{b}\right|^2 &=& \left|\vec{a}\right|^2+\left|\vec{b}\right|^2\\
|\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 &=& \left|\vec{a}\right|^2+\left|\vec{b}\right|^2\\
\cancel{|\vec{a}|^2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \cancel{|\vec{b}|^2} &=& \cancel{\left|\vec{a}\right|^2}+\cancel{\left|\vec{b}\right|^2}\\
2 \vec{a} \cdot \vec{b} &=& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ นั่นคือ $\vec{a}$ ตั้งฉากกับ $\vec{b}$

ดังนั้น (ข) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ค)[/STEP]

$\vec{a}+\vec{b}$ ตั้งฉากกับ $\vec{a}-\vec{b}$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) &=& 0\\
\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} &=& 0\\
|\vec{a}|^2 - \cancel{\vec{a} \cdot \vec{b}} + \cancel{\vec{a} \cdot \vec{b}} - |\vec{b}|^2 &=& 0\\
|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 &=& 0
\end{eqnarray*}

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 &=& 0\\
|\vec{a}|^2 &=& |\vec{b}|^2\\
|\vec{a}| &=& |\vec{b}|
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ค) ถูกต้อง

[ANS] (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด[/ANS]

เจอ $\left|\vec{a} \pm \vec{b}\right|$ เมื่อไร ให้นึกถึงสูตรกำลังสองก่อนเลย นั่นคือ $$|\vec{a} \pm \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 \pm 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$$