กำหนดเมทริกซ์ $\displaystyle A = \left[\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{matrix}\right]$ และ $\displaystyle B = \left[\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix}\right]$ เมื่อ $a, b, c$ และ $d$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $abcd = 9$ และ $ad \neq bc$ ถ้า $AB^{-1} = B^{-1}A$ และ $\det(A^t B) = - 24$ แล้ว ค่าของ $a+b+c+d$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาดีเทอร์มิแนนต์[/STEP]

จาก $\det(A^t B) = - 24$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
|A^t B| &=& -24\\
|A^t| \cdot |B| &=& -24\\
|A| \cdot |B| &=& -24     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (\text{เพราะ} \;\;|A^t| = |A|)
\end{eqnarray*}

หาค่า $|A|$ จะได้ว่า $|A| = (1)(1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3$

แทนค่า

\begin{eqnarray*}
|A| \cdot |B| &=& -24\\
(-3) |B| &=& -24\\
|B| &=& 8
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $B^{-1}$[/STEP]

จากสมการ $A B^{-1} = B^{-1} A$ เราจึงต้องหา $B^{-1}$

จาก $\displaystyle B^{-1} = \frac{1}{|B|} \operatorname{adj} B$ จะได้

$\displaystyle B^{-1} = \frac{1}{8}\left[\begin{matrix} d & -b\\ -c & a \end{matrix}\right]$

[STEP]พิจารณาสมการ $A B^{-1} = B^{-1} A$[/STEP]

หา $A B^{-1}$

\begin{eqnarray*}
A B^{-1} &=& \left[\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \cdot \frac{1}{8}\left[\begin{matrix} d & -b\\ -c & a \end{matrix}\right]\\
&=& \frac{1}{8} \left[\begin{matrix} d-2c & -b+2a\\ 2d-c & -2b+a \end{matrix}\right]
\end{eqnarray*}

หา $B^{-1} A$

\begin{eqnarray*}
B^{-1} A &=&  \frac{1}{8}\left[\begin{matrix} d & -b\\ -c & a \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{matrix}\right]\\
&=& \frac{1}{8} \left[\begin{matrix} d-2b & 2d-b\\ -c+2a & -2c+a \end{matrix}\right]
\end{eqnarray*}

เมทริกซ์ $A B^{-1} = B^{-1} A$ นั่นคือสมาชิกทุกตำแหน่งมีค่าเท่ากัน

พิจารณาตำแหน่งแถวที่ $1$ หลักที่ $1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\cancel{d} - 2c &=& \cancel{d} - 2b\\
\cancel{-2}c &=& \cancel{-2}b\\
c &=& b
\end{eqnarray*}

พิจารณาตำแหน่งแถวที่ $2$ หลักที่ $1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
2d - \cancel{c} &=& -\cancel{c} + 2a\\
\cancel{2}d &=& \cancel{2}a\\
d &=& a
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา $abcd = 9$[/STEP]

จาก $abcd = 9$

แต่ $c = b$ และ $d = a$ ดังนั้น $a^2 b^2 = 9$

[STEP]พิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ของ $B$[/STEP]

เนื่องจาก $\displaystyle B = \left[\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix}\right]$ และ $|B| = 8$ จะได้ว่า $ad - bc = 8$

แต่ $c = b$ และ $d = a$ ดังนั้น $a^2 - b^2 =8$

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

เราได้ระบบสมการ $2$ สมการ คือ

\begin{eqnarray*}
a^2 b^2 &=& 9 &-----& (1)\\
a^2 - b^2 &=& 8 &-----& (2)
\end{eqnarray*}

จากสมการ $(1)$ จัดรูปจะได้ $\displaystyle b^2 = \frac{9}{a^2}$ แทนค่าในสมการ $(2)$

\begin{eqnarray*}
a^2 - \frac{9}{a^2} &=& 8\\
\text{คูณตลอดด้วย} \; a^2; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; a^4 - 9 &=& 8a^2\\
a^4 - 8a^2 - 9 &=& 0\\
(a^2 - 9)(a^2 + 1) &=& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $a^2 = 9$ หรือ $a^2 = -1$ แต่ $a^2 = -1$ เป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $a^2 = 9$ นั่นคือ $a = 3$ ($a$ เป็นจำนวนจริงบวก)

หาค่า $b$

\begin{eqnarray*}
b^2 &=& \frac{9}{a^2}\\
&=& \frac{9}{3^2}\\
&=& 1\\
b &=& 1  \;\;\;\;\;\;\;\;\; (b \; \text{เป็นจำนวนจริงบวก})
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $a+b+c+d$[/STEP]

เราได้ว่า $a = 3 = d$ และ $b = 1 = c$

ดังนั้น $a+b+c+d = 3 + 1 + 1 + 3 = 8$

[ANS]$a+b+c+d = 8$[/ANS]

ข้อนี้สามารถทำได้อีกหนึ่งวิธีคือ จากสมการ $A B^{-1} = B^{-1} A$

จัดรูปโดยการคูณ $B$ ทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
B (A B^{-1}) B &=& B (B^{-1} A) B\\
B (A \cancel{B^{-1}}) \cancel{B} &=& \cancel{B} (\cancel{B^{-1}} A) B\\
BA &=& AB
\end{eqnarray*}

ทำให้ไม่ต้องหา $B^{-1}$ ก็ได้

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์