กำหนดให้ $(p\vee r)\leftrightarrow(\sim p\wedge\sim q)$ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

ข้อนี้ประพจน์ $\left(p\rightarrow q\right)\vee\left(r\rightarrow p\right)$ ในช้อยส์ B เป็นสัจนิรันดร์ จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้องตั้งแต่แรกโดยไม่ต้องคิดอะไรเพิ่มเติมอีก แต่เพื่อความสมบูรณ์ลองมาดูวิธีทำอย่างละเอียดกันนะครับ

[STEP]พิจารณาค่าความจริงที่เป็นไปได้ของประพจน์ย่อย $p,q,r$[/STEP]

จากที่โจทย์กำหนดให้ประพจน์ที่มีตัวเชื่อมหลักเป็นก็ต่อเมื่อ $(p\vee r)\leftrightarrow(\sim p\wedge\sim q)$ มีความจริงเป็นจริง แสดงว่าประพจน์ทั้งสองข้างของตัวเชื่อมก็ต่อเมื่อมีค่าความจริงตรงกัน

$$(p\vee r)\equiv(\sim p\wedge\sim q)$$

จึงสามารถแบ่งออกเป็นสองกรณีใหญ่ๆ คือ

  1. $p\vee r\equiv T$ กับ $\sim p \wedge \sim q\equiv T$
  2. $p\vee r\equiv F$ กับ $\sim p \wedge \sim q\equiv F$

กรณี $p\vee r\equiv T$ กับ $\sim p \wedge \sim q\equiv T$

เนื่องจาก $\sim p \wedge \sim q$ มีค่าความจริงเป็นจริง แสดงว่าทั้ง $\sim p$ และ $\sim q$ ต้องเป็นจริงทั้งคู่ ดังนั้น $p\equiv F$ และ $q\equiv F$

จากนั้นแทนค่า $p\equiv F$ ลงในประพจน์ $p\vee r \equiv T$ แล้วลองหาค่าความจริงของ $r$ จะได้

\begin{eqnarray*}
p\vee r & \equiv & T\\
F\vee r & \equiv & T\\
r & \equiv & T
\end{eqnarray*}

ดังนั้นกรณีนี้จะได้ค่าความจริงของ $p,q,r$ ดังนี้ $p\equiv q\equiv F$ แต่ $r\equiv T$

กรณี $p\vee r\equiv F$ กับ $\sim p \wedge \sim q\equiv F$

จากประพจน์ $p\vee r\equiv F$ เป็นประพจน์เชื่อมด้วยหรือและมีค่าความจริงเป็นเท็จ แสดงว่าทั้ง $p$ และ $r$ ต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่ นั่นคือ $p\equiv r\equiv F$

แทนค่า $p\equiv F$ ลงใน $\sim p \wedge \sim q \equiv F$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sim p\wedge\sim q & \equiv & F\\
\sim F\wedge\sim q & \equiv & F\\
T\wedge\sim q & \equiv & F\\
\sim q & \equiv & F\\
q & \equiv & T
\end{eqnarray*}

กรณีนี้จึงได้ค่าความจริงของ $p,q,r$ เป็น $p\equiv F$, $q\equiv T$ และ $r\equiv F$

จากทั้งสองกรณีเราได้ค่าความจริงของประพจน์ $p,q,r$ ดังแสดงในตาราง

  $p$ $q$ $r$
กรณีที่ $1$ $F$ $F$ $T$
กรณีที่ $2$ $F$ $T$ $F$

ซึ่งได้ข้อสรุปว่า $p\equiv F$ เสมอ ส่วน $q$ กับ $r$ นั้นมีค่าความจริงสลับกัน

[STEP]แทนค่า $p\equiv F$ และแบ่งกรณีสลับค่าความจริงของ $q$ กับ $r$ เพื่อตรวจสอบช้อยส์[/STEP]

ช้อยส์ A. $(q\leftrightarrow r) \vee p$ เป็นจริง
เนื่องจากค่าความจริงของ $q$ กับ $r$ ตรงกันข้ามกันเสมอ จึงทำให้ $q\leftrightarrow r\equiv F$ จึงทำให้

\begin{eqnarray*}
\left(q\leftrightarrow r\right)\vee p & \equiv & \left(\quad F\quad\right)\vee F\\
 & \equiv & F\vee F\\
 & \equiv & F
\end{eqnarray*}

ข้อนี้จึงกล่าวไม่ถูกต้อง

ช้อยส์ B. $(p\rightarrow q) \vee (r\rightarrow p)$ เป็นจริง
แทนค่าความจริงของ $p\equiv F$ ลงไปก็จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(p\rightarrow q\right)\vee\left(r\rightarrow p\right) & \equiv & \left(F\rightarrow q\right)\vee\left(r\rightarrow F\right)\\
 & \equiv & \left(\quad T\quad\right)\vee\left(r\rightarrow F\right)\\
 & \equiv & T
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่ามีค่าความจริงเป็นจริงโดยไม่ต้องพิจารณา $(r\rightarrow F)$ ด้วยซ้ำ ช้อยส์นี้จึงกล่าวถูกต้อง

ช้อยส์ C. $(r\rightarrow q) \wedge (p\wedge q)$ เป็นจริง
แทนค่า $p\equiv F$ แล้วหาค่าความจริง

\begin{eqnarray*}
\left(r\rightarrow q\right)\wedge\left(p\wedge q\right) & \equiv & \left(r\rightarrow q\right)\wedge\left(F\wedge q\right)\\
 & \equiv & \left(r\rightarrow q\right)\wedge\left(\quad F\quad\right)\\
 & \equiv & \left(r\rightarrow q\right)\wedge F\\
 & \equiv & F
\end{eqnarray*}

ไม่ว่า $(r\rightarrow q)$ มีค่าความจริงเป็นอะไร เมื่อนำมาเชื่อมด้วย $\wedge$ กับ $F$ ก็จะเป็นเท็จเสมอ ดังนั้นช้อยส์นี้กล่าวผิด

ช้อยส์ D. $(q\rightarrow \sim p) \vee (q\wedge r)$ เป็นเท็จ

แทนค่า $p\equiv F$ แล้วหาค่าความจริง

\begin{eqnarray*}
\left(q\rightarrow\sim p\right)\vee\left(q\wedge r\right) & \equiv & \left(q\rightarrow\sim F\right)\vee\left(q\wedge r\right)\\
 & \equiv & \left(q\rightarrow T\right)\vee\left(q\wedge r\right)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าประพจน์ย่อย $(q\rightarrow T)$ มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า $q$ จะเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\left(q\rightarrow T\right)\vee\left(q\wedge r\right) & \equiv & \left(\quad T\quad\right)\vee\left(q\wedge r\right)\\
 & \equiv & T\vee\left(q\wedge r\right)\\
 & \equiv & T
\end{eqnarray*}

ประพจน์นี้จึงมีค่าความจริงเป็นจริง แต่เนื่องจากข้อความช้อยส์ D กล่าวว่าประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ ช้อยส์นี้จึงกล่าวผิด

ช้อยส์ E. $(r\vee q) \leftrightarrow (p\rightarrow \sim r)$ เป็นเท็จ

จากที่ $q$ กับ $r$ มีค่าความจริงตรงกันข้ามกัน แสดงว่าเมื่อนำมาเชื่อมด้วย $\vee$ จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นจริง เราจึงได้ว่า $q\vee r\equiv T$ เสมอ นอกจากนั้นแทนค่า $p\equiv F$ ลงไปด้วย จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(r\vee q\right)\leftrightarrow\left(p\rightarrow\sim r\right) & \equiv & \left(\quad T\quad\right)\leftrightarrow\left(F\rightarrow\sim r\right)\\
 & \equiv & \left(\quad T\quad\right)\leftrightarrow\left(\quad T\quad\right)\\
 & \equiv & \quad\quad\quad T
\end{eqnarray*}

ดังนั้นประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริง แต่ข้อความช้อยส์ E กล่าวว่ามีค่าความจริงเป็นเท็จ จึงกล่าวผิด

[ANS]B. $(p\rightarrow q) \vee (r\rightarrow p)$ เป็นจริง[/ANS]

ข้อนี้แทบไม่ต้องดูโจทย์ก็สามารถตอบได้เลย เนื่องจากประพจน์ $(p\rightarrow q) \vee (r\rightarrow p)$ ในช้อยส์ B. เป็นสัจนิรันดร์ จึงเป็นจริงเสมอ

 

ความรู้ที่ใช้ : ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง