พาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ $A(-2,3)$ มีแกนสมมาตรขนานแกน $x$ และโฟกัส $F$ อยู่บนเส้นตรง $L$ ซึ่งมีสมการเป็น $4y-3x-15=0$  ถ้าพาราโบลานี้ตัดกับเส้นตรง $L$ ที่จุด $B(a,b)$ โดยที่ $a>0$  แล้วผลคูณของเวกเตอร์ $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{FB}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปประกอบ[/STEP]

พบว่าเป็นพาราโบลาเปิดขวาเพราะจุด $B$ มี $a>0$  และยังทราบอีกว่าพิกัด $y$ ของ $F$ คือ $3$ เพราะอยู่บนแกนสมมาตรพอดี

[STEP]หาพิกัด $F$ และสมการพาราโบลา[/STEP]

แทนค่า $y=3$ ลงใน $L$ เพื่อหาพิกัดของ $F$

\begin{eqnarray*}
4\left(3\right)-3x & = & 15\\
x & = & -1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $F(-1,3)$ ซึ่งจะได้ค่าคงตัวพาราโบลา $c=1$ ด้วย ($c$ = ระยะทางระหว่างโฟกัสและจุดยอด)

จะได้สมการพาราโบลาเป็น

$$4\left(x+2\right)=\left(y-3\right)^{2}$$

[STEP]หาจุด $B$[/STEP]

หาจุดตัดระหว่างพาราโบลากับ $L$ โดยแทนค่า $x=\frac{4y-15}{3}$ ลงในพาราโบลา

\begin{eqnarray*}
4\left(\frac{4y-15}{3}+2\right) & = & \left(y-3\right)^{2}\\
16y-36 & = & 3y^{2}-18y+27\\
3y^{2}-34y+63 & = & 0\\
\left(3y-7\right)\left(y-9\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $b=9,\frac73$

แทนค่า $b=9$ ใน $L$ จะได้ $a=7>0$
แทนค่า $b=\frac73$ ใน $L$ จะได้ $a=-\frac{17}{9}<0$

โจทย์บอก $a>0$ ดังนั้น $B(a,b)=B(7,9)$

[STEP]คำนวณ $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{FB}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{AF} & = & F-A\\
& = & \binom{-1-\left(-2\right)}{3-3}\\
& = & \binom{1}{0}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{FB} & = & B-F\\
& = & \binom{7-\left(-1\right)}{9-3}\\
& = & \binom{8}{6}
\end{eqnarray*}

$$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{FB}=\binom{1}{0}\cdot\binom{8}{6}=8$$

[ANS]$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{FB}=8$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : พาราโบลา การดอทเวกเตอร์