กำหนดให้ $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ $z^2-4z+7=0$ ค่าของ

$$\left(\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2\right)\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)$$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสิ่งที่โจทย์ถาม ใช้ผลรวมและผลคูณคำตอบช่วยคำนวณ[/STEP]

จากสมการ $z^2-4z+7=0$ จะพบว่าผลรวมคำตอบอยู่ที่เทอม $z$ คือ $z_1+z_2=4$ และผลคูณของคำตอบอยู่ที่เทอมสุดท้าย คือ $z_1z_2=7$ 

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}} & = & \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}z_{2}}\\
& = & \frac{4}{7}
\end{eqnarray*}

เหลือต้องคำนวณเพียงแค่ค่าสัมบูรณ์ของคำตอบของสมการข้างต้น

[STEP]ใช้สูตรคำตอบสมการกำลังสอง[/STEP]

จากสูตรคำตอบของสมการ $ax^2+bx+c=0$ คือ

$$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

จะได้ 

\begin{eqnarray*}
z & = & \frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{4^{2}-4\left(1\right)\left(7\right)}}{2\left(1\right)}\\
& = & \frac{4\pm\sqrt{-12}}{2}\\
& = & \frac{4\pm2\sqrt{3}i}{2}\\
& = & 2\pm\sqrt{3}i
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $\left|z_{1}\right|^{2}$, $\left|z_{2}\right|^{2}$ และคำตอบ[/STEP]

จาก $z_1=2+\sqrt{3}i$ และ $z_2=2-\sqrt{3}i$ (หรือสลับกัน) จะได้

$$\left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}=2^{2}+\sqrt{3}^{2}=7$$

คำนวณสิ่งที่โจทย์ถาม

\begin{eqnarray*}
\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}\right)& = & \left(7+7\right)\left(\frac{4}{7}\right)\\
& = & 8
\end{eqnarray*}

[ANS]$\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}\right)=8$[/ANS]


ความรู้ที่ใช้ : สังยุคและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน การถอดรากของจำนวนเชิงซ้อน