แกนเอกของวงรีเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของวงกลม $x^2+y^2=169$ กับวงกลม $x^2+y^2+4y=149$ และโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง $x+4\sqrt{5}=0$ สมการวงรีตรงกับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาจุดตัดของวงกลมทั้งสอง[/STEP]

แทนค่า $x^2=169-y^2$ ลงในอีกสมการวงกลม

\begin{eqnarray*}
\left(169-y^{2}\right)+y^{2}+4y-149 & = & 0\\
4y & = & -20\\
y & = & -5
\end{eqnarray*}

แทนค่า $y=-5$ ลงในสมการวงกลม $x^2+y^2=169$ เพื่อหาจุดตัดจะได้ $x=\pm12$

ดังนั้นจุดตัดทั้งสอง คือ $(-12,-5)$ และ $(12,-5)$

[STEP]วาดรูปประกอบ[/STEP]

พบว่าเป็นวงรีแนวนอนมีศูนย์กลางที่ $(0,-5)$ มี $a=12$ และ $c=4\sqrt{5}$

[STEP]ใช้ความสัมพันธ์ $a^2-b^2=c^2$ หาค่า $b$ ของวงรี[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a^{2}-b^{2} & = & c^{2}\\
12^{2}-b^{2} & = & \left(4\sqrt{5}\right)^{2}\\
b^{2} & = & 64\\
b & = & 8
\end{eqnarray*}

[STEP]เขียนสมการวงรีและจัดให้อยู่ในรูปทั่วไป[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{x^{2}}{12^{2}}+\frac{\left(y+5\right)^{2}}{8^{2}} & = & 1\\
4x^{2}+9\left(y+5\right)^{2} & = & 576\\
4x^{2}+9y^{2}+90y-351 & = & 0
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ B ถูก[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : วงกลม การสร้างสมการวงรี โจทย์ปัญหาภาคตัดกรวยประยุกต์