กำหนดให้ A เป็นเซตซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
1∈A
ถ้า x∈A แล้ว 1x∈A
x∉A ก็ต่อเมื่อ 2x∈A
จำนวนในข้อใดต่อไปนี้เป็นสมาชิกของ A
,
จากประโยคที่ 3 ถ้าเราทราบว่า x∉A เราสามารถสรุปได้ว่า 2x∈A
จากประโยคก็ต่อเมื่อข้อที่ 3 เราสามารถใส่นิเสธทั้งด้านซ้ายและขวาของ "ก็ต่อเมื่อ" ค่าความจริงก็ยังคงเหมือนเดิม นั่นคือ จะได้
x∈A ก็ต่อเมื่อ 2x∉A⋯(∗)
ดังนั้นถ้าเราทราบว่า x∈A เราสามารถสรุปได้ว่า 2x∉A
จากประโยคข้อที่ 3 ถ้าเราทราบว่า x∉A เราสามารถสรุปได้ว่า 2x∈A
เราจะใช้กฎสองข้อที่ได้นี้ในการหาข้อขัดแย้งในขั้นตอนต่อไป
- x∈A แล้ว 2x∉A
- x∉A แล้ว 2x∈A
,
ใช้กฎสี่ข้อที่ได้จากขั้นตอนที่แล้วดังนี้
- x∈A แล้ว 2x∉A
- x∉A แล้ว 2x∈A
สมมุติว่า 12∈A
ใช้กฎข้อ 1 จะได้ 2(12)∉A ซึ่งก็คือ 1∉A ขัดแย้งกับเงื่อนไขแรกของโจทย์ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่ 12 จะเป็นสมาชิกของ A
,
ใช้กฎสี่ข้อที่ได้จากขั้นตอนที่แล้วดังนี้
- x∈A แล้ว 2x∉A
- x∉A แล้ว 2x∈A
สมมุติว่า 18∈A
จาก 18∈A และจากข้อ 1 จะได้ 2(18)∉A นั่นคือ 14∉A
จาก 14∉A และจากข้อ 2 จะได้ 2(14)∈A นั่นคือ 12∈A
แต่จากขั้นตอนที่แล้วเราพบว่าถ้า 12∈A จะทำให้ 1∉A ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้นเป็นไปไม่ได้ที่ 18∈A เพราะจะทำให้เกิดข้อขัดแย้ง
,
ใช้กฎสี่ข้อที่ได้จากขั้นตอนที่แล้วดังนี้
- x∈A แล้ว 2x∉A
- x∉A แล้ว 2x∈A
จาก 132∈A และจากข้อ 1 จะได้ 2(132)∉A นั่นคือ 116∉A
จาก 116∉A และจากข้อ 2 จะได้ 2(116)∈A นั่นคือ 18∈A
แต่จากขั้นตอนที่แล้วเราพบว่า ถ้า 18∈A จะก่อให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นเป็นไปไม่ได้ที่ 132 จะเป็นสมาชิกใน A
,
จากสามขั้นตอนที่แล้ว เราทราบว่าถ้า 12 หรือ 18 หรือ 132 ตัวใดตัวหนึ่งเป็นสมาชิกของ A จะทำให้เกิดข้อขัดแย้งขึ้น แต่ถ้าหากเราทดลองทำแบบเดียวกันกับ 116 เราจะไม่พบข้อขัดแย้งใดๆ และถึงแม้ว่าเราไม่ได้พิสูจน์ว่า 116∈A ตรงๆ แต่เราก็สามารถตัดตัวเลือกอื่นๆ ทิ้งได้หมดแล้ว ดังนั้นเราจึงสรุปว่า 116∈A
ในความเป็นจริงเราสามารถจะพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า 116∈A โดยอาศัยกฎที่โจทย์กำหนดให้มาแล้วเริ่มต้นจาก 1∈A ค่อยๆ ใช้กฎไปเรื่อยๆ เราจะพบว่ากลุ่มที่เป็นสมาชิกของ A จะเป็นจำนวนที่อยู่ในรูป 122n นั่นเอง