กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ $$\frac{\sin^4x}{5}+\frac{\cos^4x}{7}=\frac{1}{12}$$  แล้วค่าของ $\frac{\sin^22x}{5}+\frac{\cos^22x}{7}$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการตรีโกณโดยเปลี่ยน $\cos x$ ให้อยู่ในรูปของ $\sin x$[/STEP]

เปลี่ยน $\cos^2x$ ให้อยู่ในรูปของ $\sin x$ โดยใช้สูตร $\cos^2x = 1-\sin^2x$

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\left(\cos^{2}x\right)^{2}}{7} & = & \frac{1}{12}\\
\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\left(1-\sin^{2}x\right)^{2}}{7} & = & \frac{1}{12}
\end{eqnarray*}

เพื่อความสะดวกเราจะเขียน $s$ แทน $\sin x$ จากนั้นกระจายกำลังสอง แล้วร่วมเศษส่วนด้านซ้ายเข้าด้วยกัน

\begin{eqnarray*}
\frac{s^{4}}{5}+\frac{\left(1-s^{2}\right)^{2}}{7} & = & \frac{1}{12}\\
\frac{s^{4}}{5}+\frac{1-2s^{2}+s^{4}}{7} & = & \frac{1}{12}\\
\frac{7}{7}\cdot\frac{s^{4}}{5}+\frac{5}{5}\cdot\frac{1-2s^{2}+s^{4}}{7} & = & \frac{1}{12}\\
\frac{7s^{4}+5-10s^{2}+5s^{4}}{35} & = & \frac{1}{12}\\
\frac{12s^{4}-10s^{2}+5}{35} & = & \frac{1}{12}
\end{eqnarray*}

ย้าย $\frac{1}{12}$ มาลบทางซ้าย รวมส่วนเข้าด้วยกัน

\begin{eqnarray*}
\frac{12s^{4}-10s^{2}+5}{35}-\frac{1}{12} & = & 0\\
\frac{12\left(12s^{4}-10s^{2}+5\right)-35}{35\times12} & = & 0
\end{eqnarray*}

คูณตลอดด้วย $35\times12$ เพื่อกำจัดตัวส่วน แล้วกระจาย $12$ เข้าไปในวงเล็บ

\begin{eqnarray*}
12\left(12s^{4}-10s^{2}+5\right)-35 & = & 0\\
144s^{4}-120s^{2}+60-35 & = & 0\\
144s^{4}-120s^{2}+25 & = & 0
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ และจะพบว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์พอดี

\begin{eqnarray*}
144s^{4}-120s^{2}+25 & = & 0\\
\left(12s^{2}-5\right)^{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ว่า $s^2 = \frac{5}{12}$ แทนค่า $s$ ด้วย $\sin x$ กลับไปก็จะได้ $\sin^2x=\frac{5}{12}$

คำนวณค่า $\cos x$ โดยใช้สูตร $\sin^2x +\cos^2x = 1$

\begin{eqnarray*}
\sin^{2}x+\cos^{2}x & = & 1\\
\frac{5}{12}+\cos^{2}x & = & 1\\
\cos^{2}x & = & 1-\frac{5}{12}\\
\cos^{2}x & = & \frac{7}{12}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูป $\frac{\sin^22x}{5}+\frac{\cos^22x}{7}$ ให้อยู่ในรูป $\sin^2 x$ กับ $\cos^2 x$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin^{2}2x}{5}+\frac{\cos^{2}2x}{7} & = & \frac{\left(\sin2x\right)^{2}}{5}+\frac{\left(\cos2x\right)^{2}}{7}\\
 & = & \frac{\left(2\sin x\cos x\right)^{2}}{5}+\frac{\left(2\cos^{2}x-1\right)^{2}}{7}\\
 & = & \frac{4\sin^{2}x\cos^{2}}{5}+\frac{4\cos^{4}x-4\cos^{2}x+1}{7}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\sin^2x = \frac{5}{12}$ และ $\cos^2x = \frac{7}{12}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin^{2}2x}{5}+\frac{\cos^{2}2x}{7} & = & \frac{4\sin^{2}x\cos^{2}}{5}+\frac{4\cos^{4}x-4\cos^{2}x+1}{7}\\
 & = & \frac{4\left(\frac{5}{12}\right)\left(\frac{7}{12}\right)}{5}+\frac{4\left(\frac{7}{12}\right)^{2}-4\left(\frac{7}{12}\right)+1}{7}\\
 & = & \frac{4\left(\frac{5}{12}\times\frac{7}{12}\right)}{5}+\frac{4\left(\frac{7^{2}}{12^{2}}\right)-4\left(\frac{7}{12}\right)+1}{7}
\end{eqnarray*}

จัดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่าย 

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin^{2}2x}{5}+\frac{\cos^{2}2x}{7} & = & \frac{4\left(\frac{5}{12}\times\frac{7}{12}\right)}{5}+\frac{4\left(\frac{7^{2}}{12^{2}}\right)-4\left(\frac{7}{12}\right)+1}{7}\\
 & = & \frac{1}{3}\times\frac{7}{12}+\frac{7}{12\times3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\\
 & = & \frac{7+7}{3\times12}+\frac{3}{3\times7}-\frac{7}{3\times7}\\
 & = & \frac{7}{9\times2}-\frac{4}{3\times7}\\
 & = & \frac{25}{126}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\frac{25}{126}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการตรีโกณมิติ สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ