กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ

$\displaystyle 2 \log_2 y = 4 + \log_{\sqrt{2}} x$ และ $\displaystyle 4^{(x+1)} + 2 = 9 (\sqrt[4]{2})^y$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสมการแรก[/STEP]

จะเห็นว่าสมการ $\displaystyle 2 \log_2 y = 4 + \log_{\sqrt{2}} x$ เป็นสมการ $\log$ เราจึงทำทุกพจน์ให้ฐานเท่ากันคือฐาน $2$ ดังนี้

$$2 \log_2 y = \log_2 y^2$$

$$4 = \log_2 2^4$$

\begin{eqnarray*}
\log_{\sqrt{2}} x &=& \log_{2^{\frac{1}{2}}} x\\
&=& \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_2 x\\
&=& 2 \log_2 x\\
&=& \log_2 x^2
\end{eqnarray*}

สมการจึงเป็น

\begin{eqnarray*}
\log_2 y^2 &=& \log_2 2^4 + \log_2 x^2\\
\log_2 y^2 &=& \log_2 (2^4 \cdot x^2)
\end{eqnarray*}

ทั้งสองข้างเป็น $\log$ ฐาน $2$ เหมือนกัน จึงถอด $\log$ ได้

\begin{eqnarray*}
y^2 &=& 2^4 \cdot x^2
\end{eqnarray*}

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
y &=& \pm 2^2 \cdot x\\
y &=& \pm 4x
\end{eqnarray*}

แต่เนื่องจากทั้ง $x$ และ $y$ จะต้องมากกว่า $0$ เพราะอยู่ใน $\log$ เราจึงได้ว่า $$y = 4x$$

[STEP]พิจารณาสมการที่สอง[/STEP]

จาก $\displaystyle 4^{(x+1)} + 2 = 9 (\sqrt[4]{2})^y$ แทนค่า $y = 4x$ เข้าไป จะได้

\begin{eqnarray*}
4^{(x+1)} + 2 &=& 9 (2^{\frac{1}{4}})^{4x}\\
2^{2(x+1)} +2 &=& 9 (2^x)\\
2^{2x+2} + 2 &=& 9 (2^x)
\end{eqnarray*}

จัดให้อยู่ในรูปพหุนามกำลัง $2$

\begin{eqnarray*}
2^{2x} \cdot 2^2 + 2 &=& 9 (2^x)\\
4 (2^x)^2 - 9 (2^x) + 2 &=& 0\\
(4 \cdot 2^x - 1) (2^x - 2) &=& 0\\
2^x &=& \frac{1}{4} , 2
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle x = -2$ หรือ $x = 1$

แต่เนื่องจาก $x > 0$ ดังนั้น $x = 1$

จะได้ $y = 4(1) = 4$

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก[/STEP]

ตัวเลือก A

\begin{eqnarray*}
x^2 + y^2 &=& 17\\
1^2 + 4^2 &=& 17\\
1 + 16 &=& 17\\
17 &=& 17
\end{eqnarray*}

ตัวเลือก A ถูกต้อง

ตัวเลือก B

\begin{eqnarray*}
x^3 + y^3 &=& 9\\
1^3 + 4^3 &=& 9\\
1 + 64 &=& 9\\
65 &=& 9
\end{eqnarray*}

ตัวเลือก B ไม่ถูกต้อง

ตัวเลือก C

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& y - 1\\
1^2 &=& 4 - 1\\
1 &=& 3
\end{eqnarray*}

ตัวเลือก C ไม่ถูกต้อง

ตัวเลือก D

\begin{eqnarray*}
y^2 &=& x + 4\\
4^2 &=& 1 + 4\\
16 &=& 5
\end{eqnarray*}

ตัวเลือก D ไม่ถูกต้อง

ตัวเลือก E

\begin{eqnarray*}
x + 2y &=& 7\\
1 + 2(4) &=& 7\\
1 + 8 &=& 7\\
9 &=& 7
\end{eqnarray*}

ตัวเลือก E ไม่ถูกต้อง

[ANS]$x^2 + y^2 = 17$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป ลอการิทึม-สมบัติลอการิทึมและการจัดรูป การแก้สมการลอการิทึม