กำหนดให้ $\displaystyle A^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} a & 0 \\ -2 & 1 \end{array} \right ]$ และ $\displaystyle B^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ b & 1 \end{array} \right ]$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็น $0$

ถ้า $\displaystyle (A^t)^{-1} B = \left [ \begin{array}{cc} 8 & -2 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]$ แล้ว $\det(2A + B)$ เท่ากับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาคำถาม[/STEP]

โจทย์ต้องการทราบ $\det(2A + B)$ ซึ่งสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ไม่สามารถแยกการบวกเมทริกซ์ได้

แสดงว่าเราต้องหาค่า $a$ และ $b$ เพื่อแทนค่าใน $A^{-1}$ และ $B^{-1}$ แล้วหาอินเวอร์สอีกรอบเพื่อให้ได้เมทริกซ์ $A$ และ $B$ ออกมา

จากนั้นนำไปหาคำตอบอีกครั้ง

[STEP]พิจารณาสมการที่โจทย์กำหนด[/STEP]

จาก $$\displaystyle (A^t)^{-1} B = \left [ \begin{array}{cc} 8 & -2 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]$$

เราคูณด้วย $B^{-1}$ ทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเมทริกซ์ $B$

\begin{eqnarray*}
 (A^t)^{-1} B B^{-1} &=& \left [ \begin{array}{cc} 8 & -2 \\ -3 & 1 \end{array} \right ] B^{-1}\\
 (A^t)^{-1} \cancel{B} \cancel{B^{-1}} &=& \left [ \begin{array}{cc} 8 & -2 \\ -3 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ b & 1 \end{array} \right ]\\
(A^t)^{-1} &=&  \left [ \begin{array}{cc} (8)(1) + (-2)(b) & (8)(0) + (-2)(1) \\ (-3)(1) + (1)(b) & (-3)(0) + (1)(1) \end{array} \right ]\\
(A^t)^{-1} &=&  \left [ \begin{array}{cc} 8-2b & -2 \\ -3+b & 1 \end{array} \right ]
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูป $(A^t)^{-1}$[/STEP]

จาก $$\displaystyle (A^t)^{-1} = (A^{-1})^t = \left [ \begin{array}{cc} a & -2 \\ 0 & 1 \end{array} \right ]$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\left [ \begin{array}{cc} a & -2 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] &=& \left [ \begin{array}{cc} 8-2b & -2 \\ -3+b & 1 \end{array} \right ]
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้สมการหาค่า $a$ และ $b$[/STEP]

จาก $$\displaystyle \left [ \begin{array}{cc} a & -2 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 8-2b & -2 \\ -3+b & 1 \end{array} \right ]$$

สังเกตสมาชิกในแถวที่ $2$ หลักที่ $1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
0 &=& -3 + b\\
3 &=& b
\end{eqnarray*}

และสมาชิกในแถวที่ $1$ หลักที่ $1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
a &=& 8 - 2b\\
a &=& 8 - 2(3)\\
&=& 8 - 6\\
&=& 2
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ว่า

$\displaystyle A^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{array} \right ]$ และ $\displaystyle B^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{array} \right ]$

[STEP]หาเมทริกซ์ $A$ และ $B$[/STEP]

จาก $$\displaystyle A^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -2 & 1 \end{array} \right ]$$

หาอินเวอร์สกลับ

\begin{eqnarray*}
(A^{-1})^{-1} &=& \frac{1}{\det(A^{-1})} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} \right ]\\
A &=& \frac{1}{(2)(1) - (-2)(0)} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} \right ]\\
&=& \frac{1}{2} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} \right ]
\end{eqnarray*}

จาก $$\displaystyle B^{-1} = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{array} \right ]$$

หาอินเวอร์สกลับ

\begin{eqnarray*}
(B^{-1})^{-1} &=& \frac{1}{\det(B^{-1})} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]\\
B &=& \frac{1}{(1)(1) - (3)(0)} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]\\
&=& \frac{1}{1} \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]\\
&=& \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]
\end{eqnarray*}

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
2A + B &=& 2 \left( \frac{1}{2} \right) \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]\\
&=&  \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array} \right ]\\
&=& \left [ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{array} \right ]
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
\det(2A + B) &=& (2)(3) - (0)(-1)\\
&=& 6 - 0\\
&=& 6
\end{eqnarray*}

[ANS]$6$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ การแก้สมการเมทริกซ์ พื้นฐานเมทริกซ์ อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ การบวกลบและการคูณเมทริกซ์