กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $A$, $B$ และ $C$ อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งที่มีรัศมีเท่ากับ $R$ หน่วย ถ้าความยาวด้านตรงข้ามมุม $A$ และมุม $B$ ยาว $a$ หน่วย และ $b$ หน่วยตามลำดับ มุม $A\hat{B}C = 18^{\circ}$ และ $A\hat{C}B = 36^{\circ}$ แล้วค่าของ $a-b$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
,
มุมของสามเหลี่ยมที่เหลืออีกมุมที่โจทย์ไม่ได้บอกขนาดมา คือ มุม $\hat{A}$ ซึ่งมีขนาดเท่ากับ
\begin{eqnarray*}
A & = & 180^{\circ}-\left(B+C\right)\\
& = & 180^{\circ}-\left(18^{\circ}+36^{\circ}\right)\\
& = & 180^{\circ}-54^{\circ}\\
& = & 126^{\circ}
\end{eqnarray*}
ซึ่งเป็นมุมป้าน เราจึงทราบว่ารูปสามเหลี่ยมที่บรรจุในวงกลมจะต้องไม่คร่อมจุดศูนย์กลางดังรูป
ลากเส้นรัศมีจากจุดศูนย์กลางไปยังจุด $B$ กับ $C$ แล้วลากเส้นตรงไปตั้งฉากกับ $BC$
จากกฎของวงกลม(เนื้อหา ม.ต้น) เราจะได้ว่ามุมที่จุดศูนย์กลางจะกางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวงเมื่อรองรับด้วยส่วนโค้งที่เท่ากัน ในที่นี้เราจะพิจารณามุมที่รองรับด้วยส่วนโค้ง $CAB$ คือ $\hat{A}$ กับมุมกลับ $C\hat{O}B$ ซึ่งจะได้
\begin{eqnarray*}
C\hat{O}B & = & 2\hat{A}\\
& = & 2\left(126^{\circ}\right)\\
& = & 252^{\circ}
\end{eqnarray*}
ดังนั้นมุมป้าน $C\hat{O}B = 360^{\circ} - 252^{\circ} = 108^{\circ}$ ดังรูป
,
จากขั้นตอนที่แล้วถ้าเราแบ่งครึ่งมุมป้าน $C\hat{O}B$ จะได้แต่ละมุมกาง $54^{\circ}$ ซึ่งจะทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากดังรูป
และจะเห็นว่าอัตราส่วน $\sin 54^{\circ}$ ตรงกับผลหารของ $\frac{MB}{OB}$ พอดี ดังนั้น
\begin{eqnarray*}
\sin54^{\circ} & = & \frac{MB}{OB}\\
& = & \frac{\frac{a}{2}}{R}\\
\sin54^{\circ} & = & \frac{a}{2R}\\
a & = & 2R\sin54^{\circ}
\end{eqnarray*}
เราจึงได้ค่าของ $a$ ในเทอมของ $R$ เป็น $a=2R\sin54^{\circ}$
,
จากรูป
ใช้กฎของไซน์ที่มุม $A$ และ $B$ จะได้
\begin{eqnarray*}
\frac{\sin A}{a} & = & \frac{\sin B}{b}\\
\frac{\sin126^{\circ}}{a} & = & \frac{\sin18^{\circ}}{b}\\
b & = & \sin18^{\circ}\times\frac{a}{\sin126^{\circ}}\\
b & = & \frac{a\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}
\end{eqnarray*}
แทนค่า $a=2R\sin54^{\circ}$ ลงไป
\begin{eqnarray*}
b & = & a\left(\frac{\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}\right)\\
& = & \left(2R\sin54^{\circ}\right)\left(\frac{\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}\right)\\
b & = & \frac{2R\sin54^{\circ}\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}
\end{eqnarray*}
เราจึงได้ค่า $b$ ในเทอมของ $R$ คือ $b=\frac{2R\sin54^{\circ} \sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}$
,
นำค่า $a=2R\sin54^{\circ}$ และ $b=\frac{2R\sin54^{\circ}}{\sin126^{\circ}}$ ที่อยู่ในรูปของ $R$ แล้วมาคำนวณค่า $a-b$ ซึ่งจะเห็นว่าเราต้องมีการจัดรูปตรีโกณมิติให้ได้ค่าออกมาเป็นตัวเลข
\begin{eqnarray*}
a-b & = & 2R\sin54^{\circ}-\frac{2R\sin54^{\circ}\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}\\
& = & \left(2R\sin54^{\circ}\right)\left(1-\frac{\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}\right)\\
& = & \left(2R\sin54^{\circ}\right)\left(\frac{\sin126^{\circ}}{\sin126^{\circ}}-\frac{\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}\right)\\
& = & \left(2R\sin54^{\circ}\right)\left(\frac{\sin126^{\circ}-\sin18^{\circ}}{\sin126^{\circ}}\right)
\end{eqnarray*}
ปรับ $\sin126^{\circ}$ ให้เป็นมุมแหลม
\begin{eqnarray*}
\sin126^{\circ} & = & \sin\left(180^{\circ}-54^{\circ}\right)\\
& = & \cancelto{0}{\sin180^{\circ}}\cos54^{\circ}-\cancelto{-1}{\cos180^{\circ}}\sin54^{\circ}\\
& = & \qquad0\qquad\qquad -\left(-1\right)\sin54^{\circ}\\
& = & \sin54^{\circ}
\end{eqnarray*}
แทนค่า $\sin126^{\circ} = \sin54^{\circ}$ ลงในค่าของ $a-b$ ที่คำนวณทิ้งไว้ก่อนหน้านี้
\begin{eqnarray*}
a-b & = & \left(2R\sin54^{\circ}\right)\left(\frac{\sin54^{\circ}-\sin18^{\circ}}{\sin54^{\circ}}\right)\\
& = & \left(2R\cancel{\sin54^{\circ}}\right)\left(\frac{\sin54^{\circ}-\sin18^{\circ}}{\cancel{\sin54^{\circ}}}\right)\\
& = & 2R\left(\sin54^{\circ}-\sin18^{\circ}\right)
\end{eqnarray*}
ใช้สูตรเปลี่ยนบวกเป็นคูณ $\sin \alpha-\sin \beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
\begin{eqnarray*}
a-b & = & 2R\left[\sin54^{\circ}-\sin18^{\circ}\right]\\
& = & 2R\left[2\cos\left(\frac{54^{\circ}+18^{\circ}}{2}\right)\sin\left(\frac{54^{\circ}-18^{\circ}}{2}\right)\right]\\
& = & 2R\left[2\cos36^{\circ}\sin18^{\circ}\right]\\
& = & 4R\cos36^{\circ}\sin18^{\circ}
\end{eqnarray*}
จะเห็นว่าเราเพิ่งจะใช้สูตรเปลี่ยนบวกเป็นคูณเสร็จก็ได้ผลคูณของไซน์กับคอสที่ไม่สามารถคำนวณค่าออกมาเป็นตัวเลขได้ แต่ในช้อยส์กลับมีเพียงตัวเลขคูณอยู่กับ $R$ แสดงว่าผลคูณนี้จะต้องจัดรูปได้
ทดลองเปลี่ยน $\sin18^{\circ}$ ให้เป็น $\cos$ โดยใช้โคฟังก์ชัน
\begin{eqnarray*}
\sin18^{\circ} & = & \cos\left(90^{\circ}-18^{\circ}\right)\\
& = & \cos72^{\circ}
\end{eqnarray*}
ดังนั้นเราจะได้
$$a-b=4R\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}$$
ซึ่งจะเห็นว่าผลคูณของคอสมีมุมเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าจาก $36$ ไปเป็น $72$ ดังนั้นจึงได้เทคนิคคูณด้วย $\sin 36^{\circ}$ ทั้งเศษและส่วน แล้วเปลี่ยนเป็นไซน์มุมสองเท่า $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ ได้
\begin{eqnarray*}
a-b & = & 4R\cos36^{\circ}\cos72^{\circ}\\
& = & \frac{2R\left(2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}\right)\cos72^{\circ}}{\sin36^{\circ}}\\
& = & \frac{2R\left(\sin\left(36^{\circ}\times2\right)\right)\cos72^{\circ}}{\sin36^{\circ}}\\
& = & \frac{2R\sin72^{\circ}\cos72^{\circ}}{\sin36^{\circ}}
\end{eqnarray*}
จากนั้นใชัสูตรไซน์มุมสองเท่าอีกครั้ง
\begin{eqnarray*}
a-b & = & \frac{R\left(2\sin72^{\circ}\cos72^{\circ}\right)}{\sin36^{\circ}}\\
& = & \frac{R\sin\left(72^{\circ}\times2\right)}{\sin36^{\circ}}\\
& = & \frac{R\sin144^{\circ}}{\sin36^{\circ}}
\end{eqnarray*}
เปลี่ยน $\sin144^{\circ}$ ให้เป็นมุมแหลม
\begin{eqnarray*}
\sin144^{\circ} & = & \sin\left(180^{\circ}-36^{\circ}\right)\\
& = & \cancelto{0}{\sin180^{\circ}}\cos36^{\circ}-\cancelto{-1}{\cos180^{\circ}}\sin36^{\circ}\\
& = & \qquad0\qquad\qquad-\left(-1\right)\sin36^{\circ}\\
& = & \sin36^{\circ}
\end{eqnarray*}
ดังนั้น
\begin{eqnarray*}
a-b & = & \frac{R\sin144^{\circ}}{\sin36^{\circ}}\\
& = & \frac{R\cancel{\sin36^{\circ}}}{\cancel{\sin36^{\circ}}}\\
& = & R
\end{eqnarray*}
ข้อนี้สำหรับคนที่ไม่ชอบให้การคำนวณติดตัวแปร $R$ สามารถสมมุติให้ $R$ เป็นตัวเลขก็ได้ เช่น $R=2$ แล้วเมื่อได้ค่าของ $a-b$ ก็ค่อยนำมาเทียบกับ $R=2$ อีกครั้งก็สามารถได้คำตอบเช่นเดียวกัน