,

จัดรูป $\dfrac{\left(\cot^2\theta\right)\left(\sec\theta - 1\right)}{1+\sin \theta} +\dfrac{\left(\sec^2\theta\right)\left(\sin\theta - 1\right)}{1+\sec\theta}$ โดยเปลี่ยนฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดให้อยู่ในรูป $\sin\theta$ กับ $\cos\theta$ โดยเพื่อความสะดวกรวดเร็วจะเขียน $s$ แทน $\sin\theta$ และเขียน $c$ แทน $\cos\theta$ จากนั้นปรับส่วนให้เท่ากันทุกๆ จุด

$$\begin{eqnarray*}  & = & \frac{\frac{c^{2}}{s^{2}}\left(\frac{1}{c}-1\right)}{1+s}+\frac{\frac{1}{c^{2}}\left(s-1\right)}{1+\frac{1}{c}}\\  & = & \frac{\frac{c^{2}}{s^{2}}\left(\frac{1}{c}-\frac{c}{c}\right)}{1+s}+\frac{\frac{s-1}{c^{2}}}{\frac{c}{c}+\frac{1}{c}}\\  & = & \frac{\frac{c^{2}\left(1-c\right)}{s^{2}c}}{1+s}+\frac{\frac{s-1}{c^{2}}}{\frac{c+1}{c}} \end{eqnarray*}$$

ทำให้เหลือเศษส่วนแบบไม่ซ้อนหลายชั้น โดยกลับเศษส่วนของเศษส่วนซ้อนขึ้นไปคูณด้านบน

$$\begin{eqnarray*}  & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)}+\frac{s-1}{c^{2}}\cdot\frac{c}{c+1}\\  & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)}+\frac{\left(s-1\right)c}{c^{2}\left(c+1\right)}\\  & = & \frac{c\left(1-c\right)}{s^{2}\left(1+s\right)}+\frac{\left(s-1\right)}{c\left(c+1\right)} \end{eqnarray*}$$

ปรับส่วนให้เท่ากัน โดยปรับส่วนเป็น $s^2c(1+s)(1+c)$

$$\begin{eqnarray*}  & = & \frac{c\left(1-c\right)}{s^{2}\left(1+s\right)}\cdot\frac{c\left(1+c\right)}{c\left(1+c\right)}+\frac{\left(s-1\right)}{c\left(1+c\right)}\cdot\frac{s^{2}\left(1+s\right)}{s^{2}\left(1+s\right)}\\  & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)\left(1+c\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}+\frac{s^{2}\left(s-1\right)\left(1+s\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\  & = & \frac{c^{2}\left(1-c\right)\left(1+c\right)+s^{2}\left(s-1\right)\left(1+s\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)} \end{eqnarray*}$$

กระจายผลคูณของตัวเศษแล้วใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณเปลี่ยน $1-\sin^2\theta$ ไปเป็น $\cos^2\theta$ และเปลี่ยน $1-\cos^2\theta$ ไปเป็น $\sin^2\theta$

$$\begin{eqnarray*}  & = & \frac{c^{2}\left(1-c^{2}\right)+s^{2}\left(s^{2}-1\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\  & = & \frac{c^{2}\left(s^{2}\right)+s^{2}\left(-c^{2}\right)}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\  & = & \frac{s^{2}c^{2}-s^{2}c^{2}}{s^{2}c\left(1+s\right)\left(1+c\right)}\\  & = & 0 \end{eqnarray*}$$

ซึ่งท้ายที่สุดจะเห็นว่าพจน์ตรีโกณมิติที่ซับซ้อนๆ จัดรูปแล้วเหลือค่าเท่ากับ $0$ ดังนั้นไม่ว่าจะได้ค่า $\theta$ ในขั้นตอนก่อนหน้านี้เท่าไหร่ก็แล้วแต่ คำตอบก็ยังคงเท่ากับศูนย์เช่นเดิม

,

ขั้นตอนนี้ไม่มีความจำเป็นต้องทำ แต่แสดงว่าเพื่อความสมบูรณ์ของเฉลยละเอียด

เพื่อหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ $f(x)=12x-9x^3$ ในช่วง $(0,1)$ คำนวณอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองของ $f(x)$

$$\begin{eqnarray*} f\left(x\right) & = & 12x-9x^{3}\\ f'\left(x\right) & = & 12-3\left(9x^{2}\right)\\  & = & 12-27x^{2} \end{eqnarray*}$$

และ

$$\begin{eqnarray*} f''\left(x\right) & = & 0-2\left(27x\right)\\  & = & -54x \end{eqnarray*}$$

คำนวณค่าวิกฤตโดยแก้สมการ $f'(x)=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f'\left(x\right) & = & 0\\ 12-27x^{2} & = & 0\\ 12 & = & 27x^{2} \end{eqnarray*}$$

หารตลอดด้วย $27$ แล้วตัดด้วย $3$ ให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ

$$\begin{eqnarray*} 27x^{2} & = & 12\\ x^{2} & = & \frac{12}{27}\\ x^{2} & = & \frac{\cancelto{4}{12}}{\cancelto{9}{27}}\\ x^{2} & = & \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$$

เขียน $\frac49$ ให้อยู่ในรูปกำลังสอง แล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้างของสมการ

$$\begin{eqnarray*} x^{2} & = & \left(\frac{2}{3}\right)^{2}\\ x & = & \pm\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$$

แต่จะเห็นว่ามีเพียง $x=\frac23$ เท่านั้นที่อยู่ในช่วง $(0,1)$ เราจึงถือว่ามีค่าวิกฤตเพียงค่าเดียว คือ $x=\frac23$

ทดสอบค่าวิกฤต โดยแทน $x=\frac23$ ลงใน $f''(x) = -54x$ จะได้

$$f''\left( \frac23 \right) = -54\left(\frac23 \right) < 0$$

ซึ่งมีค่าน้อยกว่าศูนย์ แสดงว่าค่าของ $f\left( \frac23 \right)$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ในช่วง $(0,1)$

คำนวณค่าสูงสุดสัมพัทธ์ $f\left( \frac23 \right)$

$$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{2}{3}\right) & = & 12\left(\frac{2}{3}\right)-9\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\\  & = & 8-\frac{8}{3}\\  & = & \frac{24}{3}-\frac{8}{3}\\  & = & \frac{16}{3}\\  & \approx & 5.33 \end{eqnarray*}$$

ในขณะที่ในช่วง $(0,1)$ ไม่มีขอบซ้าย กับขอบขวา ทำให้ค่า $f\left( \frac23 \right)$ น่าจะเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วง $(0,1)$ ไปด้วยเลย แต่เพื่อความมั่นใจ เราจึงทดสอบค่าของฟังก์ชัน $f(x)$ เมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $x<\frac23$ และในช่วง $x>\frac23$ โดยการแทนค่า $x=\frac12$ และ $x=\frac34$ เพื่อมาเปรียบเทียบกับ $f\left( \frac23 \right)$ ตามลำดับ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{2}\right) & = & 12\left(\frac{1}{2}\right)-9\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\\  & = & 6-\frac{9}{8}\\  & = & \frac{48}{8}-\frac{9}{8}\\  & = & \frac{39}{8}\\  & = & 4.875 \end{eqnarray*}$$

และ 

$$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{3}{4}\right) & = & 12\left(\frac{3}{4}\right)-9\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\\  & = & 9-\frac{243}{64}\\  & = & \frac{576}{64}-\frac{243}{64}\\  & = & \frac{333}{64}\\  & \approx & 5.20 \end{eqnarray*}$$

จะเห็นว่า $f\left( \frac23 \right)$ มีค่าสูงสุดในบรรดาทั้งสามค่า ดังนั้นจึงค่อนข้างเชื่อมั่นได้ว่า $f \left( \frac23 \right)$ เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วง $(0,1)$ ของ $f(x) = 12x - 9x^3$ จริง ดังนั้น $a=\frac23$ และ $\sin\theta = \frac23$ ซึ่งจะได้ $\theta = \arcsin \frac23$ นั่นเอง

เมื่อแทนค่าลงในพจน์ตรีโกณมิติ โดยการแทน $\sin \theta = \frac23$, $\sec\theta = \frac{3}{\sqrt5}$ และ $\cot\theta = \frac{\sqrt5}{2}$ ก็จะได้ผลลัพธ์เท่ากับศูนย์เช่นเดียวกัน