กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง และกำหนดฟังก์ชัน $f: R \rightarrow R$ ที่สอดคล้องกับสมการ

$$f(x+y) = f(x) + f(y) + 3x^2 y + 3x y^2 $$

สำหรับทุกๆ จำนวนจริง $x$ และ $y$

ถ้า $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} = 2$ แล้วค่าของ $f'(1)+f''(5)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาค่าอนุพันธ์ที่ตรงกับ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x} = 2$[/STEP]

เนื่องจากโจทย์ถามค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ เราจึงสงสัยไว้ก่อนว่าลิมิต $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x} = 2$ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปอนุพันธ์ได้ สังเกตว่าเป็นลิมิตที่ $x\rightarrow0$ ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้ว่าจะตรงกับค่าของ $f'(0)$ เราจึงเขียน $f'(0)$ ในรูปของลิมิต นั่นคือ

$$f'(0)= \lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}$$

จะเห็นว่ามีลักษณะใกล้เคียงกับลิมิตที่โจทย์กำหนดให้ มีเพียงค่า $f(0)$ เกินมาหนึ่งพจน์ ซึ่งถ้าหากมีค่าเท่ากับ $0$ ก็จะได้ว่าลิมิตดังกล่าว คือ $f'(0)$ 

แทนค่า $x=0,y=0$ ลงในสมการ $f(x+y) = f(x) + f(y) + 3x^2 y + 3x y^2 $ เพื่อหาค่า $f(0)$

\begin{eqnarray*}
f\left(0+0\right) & = & f\left(0\right)+f\left(0\right)+3\left(0\right)^{2}\left(0\right)+3\left(0\right)\left(0\right)^{2}\\
f\left(0\right) & = & 2f\left(0\right)\\
0 & = & 2f\left(0\right)-f\left(0\right)\\
0 & = & f\left(0\right)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f(0)=0$ และทำก็จะได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(0\right) & = & \lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)}{x}\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ $f'(0) = 2$ นั่นเอง

[STEP]คำนวณ $f'(1)$ โดยแทนค่า $y=1$ และใช้ $f'(0)=2$[/STEP]

แทนค่า $y=1$ ลงในสมการ $f(x+y) = f(x) + f(y) + 3x^2 y + 3x y^2 $

\begin{eqnarray*}
f\left(x+1\right) & = & f(x)+f(1)+3x^{2}\left(1\right)+3x\left(1\right)^{2}\\
f\left(x+1\right) & = & f\left(x\right)+f\left(1\right)+3x^{2}+3x
\end{eqnarray*}

จากนั้นหาอนุพันธ์โดยปริยาย take $\frac{d}{dx}$ ทั้งสองข้างขาง ใช้กฎลูกโซ่

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}f\left(x+1\right) & = & \frac{d}{dx}f\left(x\right)+\cancelto{0}{\frac{d}{dx}f\left(1\right)}+\frac{d}{dx}\left(3x^{2}+3x\right)\\
f'\left(x+1\right)\cancelto{1}{\frac{d}{dx}\left(x+1\right)} & = & f'\left(x\right)+0+\left(6x+3\right)\\
f'\left(x+1\right) & = & f'\left(x\right)+6x+3
\end{eqnarray*}

จากนั้นแทนค่า $x=0$ ลงในสมการนี้เพื่อให้เกิด $f'(1)$ ตามที่เราต้องการ

\begin{eqnarray*}
f'\left(0+1\right) & = & f'\left(0\right)+6\left(0\right)+3\\
f'\left(1\right) & = & f'\left(0\right)+3
\end{eqnarray*}

แทนค่า $f'(0)=2$ ที่ได้จากขั้นตอนที่แล้วลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(1\right) & = & \cancelto{2}{f'\left(0\right)}+3\\
f'\left(1\right) & = & 2+3\\
f'\left(1\right) & = & 5
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ค่าของ $f'(1) = 5$ นั่นเอง

[STEP]คำนวณค่า $f''(5)$[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้วเราพบว่าเราสามารถหาค่า $f'(1)$ ได้จากการที่เราทราบค่าอนุพันธ์ $f'(0) = 2$ มาช่วยหาค่า $f'(1)$ ในทำนองเดียวกัน เราจะต้องพยายามหาค่าอนุพันธ์อันดับสองสักค่าเพื่อมาช่วยคำนวณ $f''(5)$ โดยค่านั้นน่าจะเป็น $f''(0)$ ซึ่งจะสามารถหาได้ถ้าเราแทนค่า $x=0$ ลงไปในสมการอนุพันธ์อันดับสองแล้วจะเกิด $f''(0)$ ขึ้นทั้งสองตำแหน่ง เราจึงเลือกแทนค่า $y$ ด้วย $x$ ลงใน $f(x+y) = f(x) + f(y) + 3x^2 y + 3x y^2$ แล้วหาอนุพันธ์จนถึงอันดับสอง

\begin{eqnarray*}
f\left(x+x\right) & = & f\left(x\right)+f\left(x\right)+3x^{2}\left(x\right)+3x\left(x\right)^{2}\\
f\left(2x\right) & = & 2f\left(x\right)+3x^{3}+3x^{3}\\
f\left(2x\right) & = & 2f\left(x\right)+6x^{3}
\end{eqnarray*}

ใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยายและกฎลูกโซ่ take $\frac{d}{dx}$ ทั้งสองข้างของสมการ

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}f\left(2x\right) & = & \frac{d}{dx}2f\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(6x^{3}\right)\\
f'\left(2x\right)\cancelto{2}{\frac{d}{dx}\left(2x\right)} & = & 2\frac{d}{dx}f\left(x\right)+\left(18x^{2}\right)\\
2f'\left(2x\right) & = & 2f'\left(x\right)+18x^{2}
\end{eqnarray*}

จากนั้นหาอนุพันธ์โดยปริยายและใช้กฎลูกโซ่ take $\frac{d}{dx}$ ตลอดทั้งสมการอีกครั้งเพื่อหาสมการที่มี $f''(x)$

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}2f'\left(2x\right) & = & \frac{d}{dx}2f'\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(18x^{2}\right)\\
2\frac{d}{dx}f'\left(2x\right) & = & 2\frac{d}{dx}f'\left(x\right)+\left(36x\right)\\
2f''\left(2x\right)\cancelto{2}{\frac{d}{dx}\left(2x\right)} & = & 2f''\left(x\right)+36x\\
4f''\left(2x\right) & = & 2f''\left(x\right)+36x
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=0$ ลงไปเพื่อให้เกิด $f''(0)$ ทั้งสองข้างของสมการ แล้วแก้หา $f''(0)$

\begin{eqnarray*}
4f''\left(2\left(0\right)\right) & = & 2f''\left(0\right)+36\left(0\right)\\
4f''\left(0\right) & = & 2f''\left(0\right)+0\\
4f''\left(0\right)-2f''\left(0\right) & = & 0\\
2f''\left(0\right) & = & 0\\
f''\left(0\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

เราจึงได้ค่าอนุพันธ์อันดับสอง $f''(0) = 0$ มาไว้ใช้ช่วยแก้หาค่า $f''(5)$ แต่เนื่องจากสมการอนุพันธ์ $4f''(2x) = 2f''(x) +36x$ ไม่สามารถแทนค่าใดที่ทำให้สามารถเอาเงื่อนไข $f''(0) = 0$ ไปใช้ได้อีก เราจึงต้องสร้างสมการอนุพันธ์อันดับสองใหม่ตั้งแต่ต้น โดยเราจะเลือกแทน $y=5$ ลงไปเพื่อให้ระยะห่างระหว่างค่า $x$ ของ $f(x+y)$ กับ $f(x)$ ห่างกันเท่ากับ $5$ พอดี ซึ่งอาจจะช่วยให้การแทนค่า $x=0$ ลงในสมการอนุพันธ์อันดับสองจะเกิดพจน์ $f''(5)$ ขึ้นพอดีตามที่เราต้องการ

นำสมการ $f(x+y) = f(x) + f(y) +3x^2y + 3xy^2$ มาแทนค่า $y=5$ ลงไป

\begin{eqnarray*}
f\left(x+5\right) & = & f\left(x\right)+f\left(5\right)+3x^{2}\left(5\right)+3x\left(5\right)^{2}\\
f\left(x+5\right) & = & f\left(x\right)+f\left(5\right)+15x^{2}+75x
\end{eqnarray*}

หาอนุพันธ์โดยปริยาย ใช้กฎลูกโซ่ take $\frac{d}{dx}$ ตลอดทั้งสมการ

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}f\left(x+5\right) & = & \frac{d}{dx}f\left(x\right)+\cancelto{0}{\frac{d}{dx}f\left(5\right)}+\frac{d}{dx}\left(15x^{2}+75x\right)\\
f'\left(x+5\right)\cancelto{1}{\frac{d}{dx}\left(x+5\right)} & = & f'\left(x\right)+0+\left(30x+75\right)\\
f'\left(x+5\right) & = & f'\left(x\right)+30x+75
\end{eqnarray*}

จากนั้น take $\frac{d}{dx}$ หาอนุพันธ์โดยปริยายและใช้กฎลูกโซ่ซ้ำอีกครั้ง

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}f'\left(x+5\right) & = & \frac{d}{dx}f'\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(30x+75\right)\\
f''\left(x+5\right)\cancelto{1}{\frac{d}{dx}\left(x+5\right)} & = & f''\left(x\right)+\left(30+0\right)\\
f''\left(x+5\right) & = & f''\left(x\right)+30
\end{eqnarray*}

เราจึงได้สมการอนุพันธ์อันดับสอง $f''(x+5) = f''(x) +30$ มาตามที่เราต้องการ จากนั้นแทนค่า $x=0$ ลงไปเพื่อให้เกิด $f''(0)$ จะได้เอา $f''(0) =0 $ ไปใช้

\begin{eqnarray*}
f''\left(0+5\right) & = & \cancelto{0}{f''\left(0\right)}+30\\
f''\left(5\right) & = & 0+30\\
f''\left(5\right) & = & 30
\end{eqnarray*}

จะได้ค่าของ $f''(5) = 30$ ที่เราต้องการพอดี

ดังนั้นค่าอนุพันธ์ที่โจทย์ถาม

\begin{eqnarray*}
f'\left(1\right)+f''\left(5\right) & = & \left(5\right)+\left(30\right)\\
 & = & 35
\end{eqnarray*}

[ANS]$35$[/ANS]

สำหรับโจทย์ข้อนี้ยังมีวิธีในการหาค่า $f'(1)$ และ $f''(5)$ อีกหลากหลายวิธี โดยวิธีที่แสดงในเฉลยละเอียดใช้ความรู้คณิตศาสตร์มัธยาปลายซึ่งเพียงพอที่จะหาค่าอนุพันธ์ที่โจทย์ถามโดยไม่ต้องทราบฟังก์ชัน $f(x)$ อย่างชัดแจ้งในรูปตัวแปร $x$ ตัวเดียว

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ อนุพันธ์แบบปริยาย อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์ โจทย์ปัญหาเชาว์