กำหนดให้ $$\frac{\sin^2 0^{\circ}+\sin^2 {10}^{\circ}+\sin^2{20}^{\circ}+\cdots+\sin^2 180^{\circ}}{\cos^2{0}^{\circ}+\cos^2 {10}^{\circ}+\cos^2 {20}^{\circ}+\cdots+\cos^2{180}^{\circ}}=\frac{a}{b}$$

โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ ห.ร.ม. ของ $a$ กับ $b$ มีค่าเท่ากับ $1$ 

แล้วค่าของ $a^2+b^2$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\sin^20^{\circ} + \sin^210^{\circ} + \sin^220^{\circ} + \cdots \sin^2180^{\circ}$[/STEP]

เนื่องจาก  $\sin^20^{\circ} + \sin^210^{\circ} + \sin^220^{\circ} + \cdots \sin^2180^{\circ}$ เป็นผลบวกของพจน์กำลังสองของไซน์ เราจึงจะพยายามใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ $\sin^2 \theta + \cos^2\theta =1$ โดยจะต้องพยายามหาพจน์ที่มีค่าเท่ากับ $\cos^210^{\circ}$ เพื่อมาจับคู่กับ $\sin^210^{\circ}$ ให้ได้ก่อน ซึ่งพบว่า

\begin{eqnarray*}
\sin^{2}100^{\circ} & = & \left[\sin\left(90^{\circ}+10^{\circ}\right)\right]^{2}\\
 & = & \left[\cancelto{1}{\sin90^{\circ}}\cos10^{\circ}+\cancelto{0}{\cos90^{\circ}}\sin10^{\circ}\right]^{2}\\
 & = & \left[\cos10^{\circ}+0\right]^{2}\\
 & = & \cos^{2}10^{\circ}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าค่าของ $\sin^2100^{\circ} = \cos^210^{\circ}$ พอดี เราจึงจับคู่ 

$$\sin^{2}10^{\circ}+\sin^{2}100^{\circ} = \sin^{2}10^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}=1$$

ในทำนองเดียวกัน $\sin^2110^{\circ}$ สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป $\cos^220^{\circ}$ แล้วนำไปจับคู่กับ $\sin^220^{\circ}$ ได้

\begin{eqnarray*}
\sin^{2}110^{\circ} & = & \left[\sin\left(90^{\circ}+20^{\circ}\right)\right]^{2}\\
 & = & \left[\sin90^{\circ}\cos20^{\circ}+\cos90^{\circ}\sin20^{\circ}\right]^{2}\\
 & = & \left[\cos20^{\circ}+0\right]^{2}\\
 & = & \cos^{2}20^{\circ}
\end{eqnarray*}

เราจึงได้แนวทางว่า สำหรับ $\theta = 10^{\circ}, 20^{\circ}, 30^{\circ},\cdots, 80^{\circ}$ ถ้าเราจับคู่ $\sin^2\theta$ กับ $\sin^2(90^{\circ} + \theta)$ เราก็สามารถเปลี่ยน $\sin^2(90^{\circ} + \theta)$ ให้อยู่ในรูป $\cos^2\theta$ ได้

\begin{eqnarray*}
\sin^{2}\left(90^{\circ}+\theta\right) & = & \left[\sin\left(90^{\circ}+\theta\right)\right]^{2}\\
 & = & \left[\sin90^{\circ}\cos\theta+\cos90^{\circ}\sin\theta\right]^{2}\\
 & = & \left[\cos\theta+0\right]^{2}\\
 & = & \cos^{2}\theta
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อนำมาจับคู่กันแล้วจะมีค่าเท่ากับ $1$ ดังนี้

$$\sin^{2}\theta+\sin^{2}\left(90^{\circ}+\theta\right)=\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$$

ดังนั้นเราจึงจัดรูป $\sin^2 0^{\circ}+\sin^2 {10}^{\circ}+\sin^2{20}^{\circ}+\cdots+\sin^2 180^{\circ}$ โดยจับคู่ตามที่เราวางแผนไว้

$\cos^2{0}^{\circ}+\cos^2 {10}^{\circ}+\cos^2 {20}^{\circ}+\cdots+\cos^2{180}^{\circ}$

\begin{eqnarray*}
 & = & \left(\sin^{2}10^{\circ}+\sin^{2}100^{\circ}\right)+\left(\sin^{2}20^{\circ}+\sin^{2}110^{\circ}\right)+\cdots+\left(\sin^{2}80^{\circ}+\sin^{2}170^{\circ}\right)\\
 &  & \qquad+\left[\sin^{2}0^{\circ}+\sin^{2}90^{\circ}+\sin^{2}180^{\circ}\right]\\
 & = & \left(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{8\text{ ตัว}}\right)+\left[\cancelto{0}{\sin^{2}0^{\circ}}+\cancelto{1}{\sin^{2}90^{\circ}}+\cancelto{0}{\sin^{2}180^{\circ}}\right]\\
 & = & \left(\qquad8\qquad\right)+\left[0+1+0\right]\\
 & = & 9
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\sin^2 0^{\circ}+\sin^2 {10}^{\circ}+\sin^2{20}^{\circ}+\cdots+\sin^2 180^{\circ} = 9$

[STEP]คำนวณ $\cos^2{0}^{\circ}+\cos^2 {10}^{\circ}+\cos^2 {20}^{\circ}+\cdots+\cos^2{180}^{\circ}$[/STEP]

ใช้หลักการเดียวกับขั้นตอนที่ผ่านมา พยายามใช้สูตร $\sin^2\theta + \cos^2 \theta = 1$ โดยทดลองจับคู่ $\cos^210^{\circ}$ กับ $\cos^2100^{\circ}$ แล้วพยายามเปลี่ยน $\cos^2100^{\circ}$ ไปเป็น $\sin^210^{\circ}$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\cos^{2}100^{\circ} & = & \left[\cos\left(90^{\circ}+10^{\circ}\right)\right]^{2}\\
 & = & \left[\cos90^{\circ}\cos10^{\circ}-\sin90^{\circ}\sin10^{\circ}\right]^{2}\\
 & = & \left[0-\sin10^{\circ}\right]^{2}\\
 & = & \sin^{2}10^{\circ}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าสามารถเปลี่ยน $\cos^2100^{\circ}$ ไปเป็น $\sin^210^{\circ}$ ในทำนองเดียวกันกับขั้นตอนที่แล้ว เรายืนยันด้วยการพิสูจน์ว่า $\cos^2(90^{\circ} + \theta) = \sin^2\theta$ สำหรับ $\theta = 10^{\circ}, 20^{\circ}, 30^{\circ} , \cdots 80^{\circ}$

\begin{eqnarray*}
\cos^{2}\left(90^{\circ}+\theta\right) & = & \left[\cos\left(90^{\circ}+\theta\right)\right]^{2}\\
 & = & \left[\cos90^{\circ}\cos\theta-\sin90^{\circ}\sin\theta\right]^{2}\\
 & = & \left[0-\sin\theta\right]^{2}\\
 & = & \sin^{2}\theta
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงจัดรูป $\cos^2{0}^{\circ}+\cos^2 {10}^{\circ}+\cos^2 {20}^{\circ}+\cdots+\cos^2{180}^{\circ}$ โดยการจับคู่ที่มุมห่างกัน $90^{\circ}$ ดังนี้

$\cos^2{0}^{\circ}+\cos^2 {10}^{\circ}+\cos^2 {20}^{\circ}+\cdots+\cos^2{180}^{\circ}$

\begin{eqnarray*}
 & = & \left(\cos^{2}10^{\circ}+\cos^{2}100^{\circ}\right)+\left(\cos^{2}20^{\circ}+\cos^{2}110^{\circ}\right)+\cdots+\left(\cos^{2}80^{\circ}+\cos^{2}170^{\circ}\right)\\
 &  & +\left[\cos^{2}0^{\circ}+\cos^{2}90^{\circ}+\cos^{2}180^{\circ}\right]\\
 & = & \left(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{8\text{ ตัว}}\right)+\left[1^{2}+0^{2}+\left(-1\right)^{2}\right]\\
 & = & 10
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\cos^2{0}^{\circ}+\cos^2 {10}^{\circ}+\cos^2 {20}^{\circ}+\cdots+\cos^2{180}^{\circ} = 10$

[STEP]คำนวณ $a^2+b^2$[/STEP]

แทนค่าที่ได้จากขั้นตอนที่แล้ว จะได้

$$\frac{\sin^{2}0^{\circ}+\sin^{2}10^{\circ}+\sin^{2}20^{\circ}+\cdots+\sin^{2}180^{\circ}}{\cos^{2}0^{\circ}+\cos^{2}10^{\circ}+\cos^{2}20^{\circ}+\cdots+\cos^{2}180^{\circ}}=\frac{9}{10}$$

ซึ่งอยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว ดังนั้น $\frac{a}{b} = \frac{9}{10}$ และ $a=9$, $b=10$ เราจึงได้ 

\begin{eqnarray*}
a^{2}+b^{2} & = & 9^{2}+10^{2}\\
 & = & 81+100\\
 & = & 181
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $181$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรผลรวมและผลต่างมุม สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ