,

เนื่องจากคำถามถามเกี่ยวกับฟังก์ชันเพิ่มลด และค่าสูงสุด แสดงว่าจะต้องใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ซึ่งจะเป็นสิ่งที่บอกความชันของเส้นโค้ง

$$\begin{eqnarray*} f'(x)&=&\left[\frac{4x^3}{x^6-3x^3+64}\right]'\\ &=&\frac{(x^6-3x^3+64)(12x^2)-(4x^3)(6x^5-9x^2)}{(x^6-3x^3+64)^2}\\ &=&\frac{\left(12x^8-36x^5+768x^2\right)-\left(24x^8-36x^5\right)}{(x^6-3x^3+64)^2}\\ &=&\frac{768x^2-12x^8}{(x^6-3x^3+64)^2} \end{eqnarray*}$$

หาจุดที่จะให้ค่าสูงสุดต่ำสุด โดยการจับความชั้นเท่ากับ $0$ หรือ หาค่าไม่ได้

กรณีหาค่าไม่ได้คือ

$$x^6-3x^3+64=0$$

ซึ่งเมื่อแก้สมการแล้วจะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

กรณีความชันเท่ากับ $0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f'(x)&=&0\\ \frac{768x^2-12x^8}{(x^6-3x^3+64)^2}&=&0\\ 768x^2-12x^8&=&0\\ x^2(768-12x^6)&=&0 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} x^2&=&0\\ x&=&0 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} 768-12x^6&=&0\\ x^6&=&64 x&=&\pm2 \end{eqnarray*}$$

วาดเส้นจำนวนเพิ่มดูว่าความชันแต่ละช่วง เป็น บวก หรือ ลบ

จาก $$f'(x)=\frac{x^2(768-12x^6)}{(x^6-3x^3+64)^2}$$

ได้จุดที่ความชันเท่ากับ $0$ คือ $0,-2,2$ ได้เส้นจำนวนคือ

ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(-2,2)$

ข้อความ ก. ผิด

จากเส้นจำนวนด้านบน จุดที่จะให้ค่าสุงสุดสัมพัทธ์ คือ เมื่อดูความชันจากซ้ายไปขวาจะต้องมีการเปลี่ยนความชันจาก บวก ไปเป็น ลบ

ดังนั้นจุดที่ให้ค่าสุดสัมพัทธ์คือ

$$x=2$$

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ

$$\begin{eqnarray*} f(2)&=&\frac{4\cdot2^3}{2^6-3\cdot2^3+64}\\ &=&\frac{32}{104}\\ &=&\frac{4}{13} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

ข้อความ ข. ถูก