กำหนดให้ $f(x)=\frac{4x^3}{x^6-3x^3+64}$  เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ  พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(0,3)$

ข. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$ เท่ากับ $\frac{4}{13}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $f'(x)$[/STEP]

เนื่องจากคำถามถามเกี่ยวกับฟังก์ชันเพิ่มลด และค่าสูงสุด แสดงว่าจะต้องใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ซึ่งจะเป็นสิ่งที่บอกความชันของเส้นโค้ง

\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\left[\frac{4x^3}{x^6-3x^3+64}\right]'\\
&=&\frac{(x^6-3x^3+64)(12x^2)-(4x^3)(6x^5-9x^2)}{(x^6-3x^3+64)^2}\\
&=&\frac{\left(12x^8-36x^5+768x^2\right)-\left(24x^8-36x^5\right)}{(x^6-3x^3+64)^2}\\
&=&\frac{768x^2-12x^8}{(x^6-3x^3+64)^2}
\end{eqnarray*}

หาจุดที่จะให้ค่าสูงสุดต่ำสุด โดยการจับความชั้นเท่ากับ $0$ หรือ หาค่าไม่ได้

กรณีหาค่าไม่ได้คือ

$$x^6-3x^3+64=0$$

ซึ่งเมื่อแก้สมการแล้วจะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

กรณีความชันเท่ากับ $0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&0\\
\frac{768x^2-12x^8}{(x^6-3x^3+64)^2}&=&0\\
768x^2-12x^8&=&0\\
x^2(768-12x^6)&=&0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x^2&=&0\\
x&=&0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
768-12x^6&=&0\\
x^6&=&64
x&=&\pm2
\end{eqnarray*}

วาดเส้นจำนวนเพิ่มดูว่าความชันแต่ละช่วง เป็น บวก หรือ ลบ

จาก $$f'(x)=\frac{x^2(768-12x^6)}{(x^6-3x^3+64)^2}$$

ได้จุดที่ความชันเท่ากับ $0$ คือ $0,-2,2$ ได้เส้นจำนวนคือ

ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(-2,2)$

ข้อความ ก. ผิด

จากเส้นจำนวนด้านบน จุดที่จะให้ค่าสุงสุดสัมพัทธ์ คือ เมื่อดูความชันจากซ้ายไปขวาจะต้องมีการเปลี่ยนความชันจาก บวก ไปเป็น ลบ

ดังนั้นจุดที่ให้ค่าสุดสัมพัทธ์คือ

$$x=2$$

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ

\begin{eqnarray*}
f(2)&=&\frac{4\cdot2^3}{2^6-3\cdot2^3+64}\\
&=&\frac{32}{104}\\
&=&\frac{4}{13}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

ข้อความ ข. ถูก

 

[ANS] ก. ผิด แต่ ข. ถูก [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์