กำหนดให้ $z=x+yi$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ

$$x\left(3+5i\right) + y\left(1-i\right)^3 = 3+7i$$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $\operatorname{Im}\left(\overline{iz}\right) = -\operatorname{Re}\left(iz\right)$

ข. $\dfrac{1}{z} = \dfrac{8-6i}{7}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูก

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการที่โจทย์กำหนดให้เพื่อหาค่า $x$ และ $y$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x(3+5i)+y(1-i)^3&=&3+7i\\
x(3+5i)+y(1^3-3i+3i^2-i^3)&=&3+7i\\
x(3+5i)+y(1-3i-3+i)&=&3+7i\\
x(3+5i)+y(-2-2i)&=&3+7i\\
3x+5xi-2y-2yi&=&3+7i\\
(3x-2y)+(5x-2y)i&=&3+7i
\end{eqnarray*}

จากสมการด้านบน ให้จับส่วนจริง (ส่วนที่ไม่มี $i$) เท่ากัน และ จับส่วนจิตภาพ (ส่วนที่ติด $i$) เท่ากัน จะได้

\begin{eqnarray*}
3x-2y&=&3\qquad \cdots  (1)\\
5x-2y&=&7\qquad \cdots  (2)
\end{eqnarray*}

นำ $(2)-(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2x&=&4\\
x&=&2
\end{eqnarray*}

จากนั้นนำ $x=2$ แทนในสมการ (1) จะได้

\begin{eqnarray*}
3(2)-2y&=&3\\
2y&=&3\\
y&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$z=2+\frac{3}{2}i$$

 

[STEP]พิจารณาข้อความ ก.[/STEP]

\begin{eqnarray*}
iz&=&i(2+\frac{3}{2}i\\
&=&2i+\frac{3}{2}i^2\\
&=&-\frac{3}{2}+2i
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$\overline{iz}=-\frac{3}{2}-2i$$

จะได้ว่า

$$\operatorname{Im}\left(\overline{iz}\right)=-2$$

และ

$$-\operatorname{Re}(iz)=-\frac{3}{2}$$

ดังนั้น

$$\operatorname{Im}\left(\overline{iz}\right)\neq -\operatorname{Re}(iz)$$

จึงสรุปได้ว่า ข้อความ ก. ผิด

 

[STEP]พิจารณาข้อความ ข.[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{z}&=&\frac{1}{2+\frac32i}\\
&=&\frac{1}{\frac{4+3i}{2}}\\
&=&\frac{2}{4+3i}\\
&=&\frac{2}{4+3i}\cdot\frac{4-3i}{4-3i}\\
&=&\frac{8-6i}{4^2-(3i)^2}\\
&=&\frac{8-6i}{16+9}\\
&=&\frac{8-6i}{25}\\
&\neq&\frac{8-6i}{7}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อความ ข. ผิด

[ANS] D [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการจำนวนเชิงซ้อน