ข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกต้องบ้าง (ตอบได้มากกว่าหนึ่งข้อ)
,
เปลี่ยนให้อยู่ในรูป $\sin$ กับ $\cos$ ทั้งสองข้างของสมการแล้วคูณไขว้ (วิธีนี้ใช้สำหรับการตรวจสอบคำตอบเพื่อความรวดเร็วเท่านั้น ไม่ควรใช้ในการแสดงวิธีทำ)
\begin{eqnarray*}
\frac{\cos10^{\circ}-\sin10^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}} & = & \frac{1-\sin20^{\circ}}{\cos20^{\circ}}\\
\left(\cos20^{\circ}\right)\left(\cos10^{\circ}-\sin10^{\circ}\right) & = & \left(\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}\right)\left(1-\sin20^{\circ}\right)
\end{eqnarray*}
เปลี่ยนผลบวก-ผลต่างฟังก์ชันตรีโกณในวงเล็บให้เป็นฟังก์ชันไซน์เหมือนกัน เพื่อจะใช้สูตรเปลี่ยนบวก $\rightarrow$ คูณ
\begin{eqnarray*}
\left(\cos20^{\circ}\right)\left(\sin80^{\circ}-\sin10^{\circ}\right) & = & \left(\sin80^{\circ}+\sin10^{\circ}\right)\left(1-\sin20^{\circ}\right)\\
\left(\cos20^{\circ}\right)\left[2\cos\left(\frac{80^{\circ}+10^{\circ}}{2}\right)\sin\left(\frac{80^{\circ}-10^{\circ}}{2}\right)\right] & = & \left[2\sin\left(\frac{80^{\circ}+10^{\circ}}{2}\right)\cos\left(\frac{80^{\circ}-10^{\circ}}{2}\right)\right]\left(1-\sin20^{\circ}\right)\\
\left(\cos20^{\circ}\right)\left[2\cos45^{\circ}\sin35^{\circ}\right] & = & \left[2\sin45^{\circ}\cos35^{\circ}\right]\left(1-\sin20^{\circ}\right)
\end{eqnarray*}
ตัด $2\cos45^{\circ}$ กับ $2\sin45^{\circ}$ จากทั้งสองข้างออก เพราะมีค่าเท่ากัน จากนั้นกระจายวงเล็บด้านขวาของสมการ
\begin{eqnarray*}
\left(\cos20^{\circ}\right)\left[\cancel{2\cos45^{\circ}}\sin35^{\circ}\right] & = & \left[\cancel{2\sin45^{\circ}}\cos35^{\circ}\right]\left(1-\sin20^{\circ}\right)\\
\cos20^{\circ}\sin35^{\circ} & = & \cos35^{\circ}\left(1-\sin20^{\circ}\right)\\
\cos20^{\circ}\sin35^{\circ} & = & \cos35^{\circ}-\cos35^{\circ}\sin20^{\circ}
\end{eqnarray*}
จะเห็นว่าพจน์ $\cos35^{\circ}\sin20^{\circ}$ ด้านขวามีมุมชุดเดียวกับด้านซ้าย เราจึงย้ายมาทางด้านซ้ายของสมการ แล้วรวมกันตามสูตรผลบวกไซน์ $\sin A\cos B + \sin B \cos A = \sin (A+B)$
\begin{eqnarray*}
\cos20^{\circ}\sin35^{\circ}+\cos35^{\circ}\sin20^{\circ} & = & \cos35^{\circ}\\
\sin35^{\circ}\cos20^{\circ}+\cos35^{\circ}\sin20^{\circ} & = & \cos35^{\circ}\\
\sin\left(35^{\circ}+20^{\circ}\right) & = & \cos35
\end{eqnarray*}
จะได้
$$\sin55^{\circ} = \cos35^{\circ}$$
ซึ่งเป็นจริงตามกฎของโคฟังก์ชัน $\sin55^{\circ} = \cos\left( 90^{\circ} - 55^{\circ} \right) = \cos 35^{\circ}$
,
เปลี่ยนมุม $70^{\circ}$ ไปเป็นมุม $20^{\circ}$ แล้วจัดรูปสมการให้ง่ายขึ้น
\begin{eqnarray*}
\sqrt{3}\tan70^{\circ} & = & 4\sin70^{\circ}+1\\
\sqrt{3}\cot20^{\circ} & = & 4\cos20^{\circ}+1\\
\frac{\sqrt{3}\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}} & = & 4\cos20^{\circ}+1\\
\sqrt{3}\cos20^{\circ} & = & 4\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}+\sin20^{\circ}\\
\sqrt{3}\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ} & = & 4\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}
\end{eqnarray*}
ซึ่งเราจะตรวจสอบสมการล่าสุดที่ได้ โดยการเริ่มจากทางซ้ายแล้วจัดรูปให้ได้ทางขวาของสมการ
\begin{eqnarray*}
\sqrt{3}\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ} & = & 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos20^{\circ}-\frac{1}{2}\sin20^{\circ}\right)\\
& = & 2\left(\cos30^{\circ}\cos20^{\circ}-\sin30^{\circ}\sin20^{\circ}\right)\\
& = & 2\cos\left(30^{\circ}+20^{\circ}\right)\\
& = & 2\cos50^{\circ}\\
& = & 2\sin40^{\circ}\\
& = & 2\left(2\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}\right)\\
& = & 4\sin20^{\circ}\cos20^{\circ}
\end{eqnarray*}
ซึ่งตรงกับด้านขวาของสมการที่ต้องการตรวจสอบ
เทคนิคการเปลี่ยน $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ไปเป็น $\cos30^{\circ}$ และ การเปลี่ยน $\frac12$ ไปเป็น $\sin30^{\circ}$ ใช้เมื่อเราพบว่ามีสัมประสิทธิ์ของ $\sin$ และ $\cos$ ของมุมเดียวกัน ที่สามารถปรับไปเป็นค่าเหล่านี้ได้ ลองดูจากอีกตัวอย่างด้านล่างนะครับ
\begin{eqnarray*}
\sin40^{\circ}-\sqrt{3}\cos40^{\circ} & = & 2\left(\frac{1}{2}\sin40^{\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos40^{\circ}\right)\\
& = & 2\left(\sin30^{\circ}\sin40^{\circ}-\cos30^{\circ}\cos40^{\circ}\right)\\
& = & -2\left(\cos30^{\circ}\cos40^{\circ}-\sin30^{\circ}\sin40^{\circ}\right)\\
& = & -2\cos\left(30^{\circ}+40^{\circ}\right)\\
& = & -2\cos70^{\circ}
\end{eqnarray*}
จะเห็นว่า $\sin40^{\circ}$ และ $\cos40^{\circ}$ มีมุมเดียวกัน คือ $40^{\circ}$ และสัมประสิทธิ์ทั้งสองตัว คือ $1$ กับ $\sqrt{3}$ สามารถปรับเปลี่ยนไปเป็นค่า $\sin30^{\circ}$ และ $\cos30^{\circ}$ ซึ่งเป็นค่าตรีโกณของมุมเดียวกัน