จากการสำรวจคะแนนสอบของนักเรียน $6$ คน ที่มีคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ $(x_i)$ และคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ $(y_i)$ ปรากฏว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์เท่ากับ $9$ คะแนน และ $10$ คะแนน ตามลำดับ

ถ้า $\displaystyle \sum_{i=1}^6x_iy_i=560$, $\displaystyle \sum_{i=1}^6x_i^2=502$ และ $\displaystyle\sum_{i=1}^6y_i^2=630$  คะแนนสอบวิชาทั้งสองวิชามีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเส้นตรง และนักเรียนคนหนึ่งมีคะแนนวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ $13$ คะแนน แล้วคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ โดยประมาณของเขา ควรจะมีค่าเท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]เลือกสมการประมาณ[/STEP]

เนื่องจากเราต้องการประมาณคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ ด้วยคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ (ประมาณ $x$ ด้วย $y$) ดังนั้นสมการประมาณจึงเป็น

$$x=ay+b$$

เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริง

จะได้สมการช่วยคำนวณค่า $a,b$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\sum x_{i} & = & a\sum y_{i}+\sum b\\
\sum x_{i}y_{i} & = & a\sum y_{i}^{2}+b\sum y_{i}
\end{eqnarray*}

เราจึงต้องคำนวณค่าต่อไปนี้

  1. $\sum x_i$
  2. $\sum y_i$
  3. $\sum x_iy_i=560$
  4. $\sum y_i^2=630$

[STEP]คำนวณ $\sum x_i$ และ $\sum y_i$ จากคะแนนเฉลี่ย[/STEP] 

จากคะแนนเฉลี่ยวิชาฟิสิกส์เท่ากับ $9$ คะแนน ($\bar{x}=9$)

\begin{eqnarray*}
\bar{x} & = & 9\\
\frac{\sum x_{i}}{6} & = & 9\\
\sum x_{i} & = & 9\times6=54
\end{eqnarray*}

จากคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ $10$ คะแนน ($\bar{y}=10$}

\begin{eqnarray*}
\bar{y} & = & 10\\
\frac{\sum y_{i}}{6} & = & 10\\
\sum y_{i} & = & 60
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $a,b$ และประมาณค่าคะแนนฟิสิกส์[/STEP]

แทนค่า 

  1. $\sum b = 6b$
  2. $\sum x_i=54$
  3. $\sum y_i=60$
  4. $\sum x_iy_i=560$
  5. $\sum y_i^2=630$

ลงในสมการประมาณได้

\begin{eqnarray*}
54 & = & 60a+6b\\
560 & = & 630a+60b
\end{eqnarray*}

แก้ระบบสมการจะได้ 

$a=\frac23$ และ $b=\frac73$

ดังนั้นสมการประมาณ คือ 

$$x=\frac23y+\frac73$$

แทนค่า $y=13$

จะได้ $x=\frac23(13)+\frac73=11$

[ANS]11[/ANS]

ข้อนี้สัญลักษณ์ $\sum$ ได้ละส่วนที่เรียกว่า index ไปเพื่อความรวดเร็วครับ ถ้าจะให้ถูก ทุกที่ที่เขียน $\sum$ ต้องเขียนเป็น $\displaystyle\sum_{i=1}^6$ แต่ในการทำข้อสอบจริงเราจะไม่เสียเวลามาเขียนส่วน index เหมือนอย่างที่เห็นในเฉลยนั่นแหล่ะครับ

ความรู้ที่ใช้ : ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน