กำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมแหลม โดยที่ $\theta=\arctan\left(\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}\right)-\arctan\left(\sqrt{x}\right)$ เมื่อ $0<x<1$ แล้วค่าของ $\tan\theta+\cot\theta$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]take $\tan$ แก้สมการหาค่า $x$ และคำนวณ $\cot\theta$[/STEP]

ให้ $A=\arctan\left(\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}\right)$ และ $B=\arctan\sqrt{x}$

take $\tan$ ทั้งสองข้างของสมการ

\begin{eqnarray*}
\tan\theta & = & \tan\left(A-B\right)\\
 & = & \frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\\
 & = & \frac{\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{1+\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}}\\
 & = & \frac{\frac{\sqrt{x}+1}{\cancel{1-\sqrt{x}}}-\frac{\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)}{\cancel{1-\sqrt{x}}}}{\frac{1-\sqrt{x}}{\cancel{1-\sqrt{x}}}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\cancel{1-\sqrt{x}}}}\\
 & = & \frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+x}{1-\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}\\
 & = & \frac{\cancel{1+x}}{\cancel{1+x}}\\
 & = & 1
\end{eqnarray*}

จะได้ $\tan\theta = 1$ ดังนั้น $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}=1$ 

[ANS]$\tan\theta+\cot\theta=1+1=2$[/ANS]

เนื่องจากโจทย์ข้อนี้มีคำตอบเท่ากันทุกค่า $x$ ที่อยู่ในช่วง $(0,1)$ ดังนั้นเราสามารถแทนค่า $x$ ที่ทำให้คำนวณ $\tan \theta+\cot\theta$ ได้ง่ายๆ คือ $x=\frac19$ ซึ่งจะทำให้ได้

\begin{eqnarray*}
\theta & = & \arctan\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{9}}+1}{1-\sqrt{\frac{1}{9}}}\right)-\arctan\left(\sqrt{\frac{1}{9}}\right)\\
 & = & \arctan\left(\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}\right)-\arctan\frac{1}{3}\\
 & = & \arctan2-\arctan\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}

จากนั้นคำนวณ

\begin{eqnarray*}
\tan\theta & = & \tan\left(\arctan2-\arctan\frac{1}{3}\right)\\
 & = & \frac{\left(\tan\arctan2\right)-\left(\tan\arctan\frac{1}{3}\right)}{1+\left(\tan\arctan2\right)\left(\tan\arctan\frac{1}{3}\right)}\\
 & = & \frac{2-\frac{1}{3}}{1+\left(2\right)\left(\frac{1}{3}\right)}\\
 & = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac11=1$

นั่นคือ $\tan\theta+\cot\theta=2$ นั่นเอง

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ