กำหนดให้ $C$ เป็นเส้นโค้ง $y=\frac{4x^5-3}{x^4}$ เมื่อ $x>0$ และให้ $L$ เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง $C$ ที่จุด $(1,1)$  ถ้าเส้นตรง $L$ ตัดกับพาราโบลา $x(x-1)=y-1$ ที่จุด $A$ และจุด $B$ แล้วระยะทางระหว่างจุด $A$ และ จุด $B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณความชัน ณ จุดสัมผัส และสร้างสมการเส้นตรง $L$[/STEP]

จัดรูป $C$ ให้คำนวณอนุพันธ์ได้โดยง่าย

\begin{eqnarray*}
y & = & \frac{4x^{5}-3}{x^{4}}\\
 & = & \frac{4x^{5}}{x^{4}}-\frac{3}{x^{4}}\\
 & = & 4x-3x^{-4}
\end{eqnarray*}

หาอนุพันธ์ของเส้นโค้ง $C$

\begin{eqnarray*}
y' & = & \frac{d}{dx}\left(4x-3x^{-4}\right)\\
 & = & \frac{d}{dx}4x-\frac{d}{dx}3x^{-4}\\
 & = & 4\frac{d}{dx}x-3\frac{d}{dx}x^{-4}\\
 & = & 4\left(1\right)-3\left(-4x^{-5}\right)\\
 & = & 4+\frac{12}{x^{5}}
\end{eqnarray*}

คำนวณความชันของ $C$ ที่จุด $(1,1)$ โดยแทน $x=1$

\begin{eqnarray*}
y'\left(1\right) & = & 4+\frac{12}{\left(1\right)^{5}}\\
 & = & 4+12\\
 & = & 16
\end{eqnarray*}

สร้างสมการเส้นตรง $L$ ซึ่งผ่านจุด $(1,1)$ และมีความชันเท่ากับ $16$

$$y-1=16\left(x-1\right)$$

ซึ่งจะเห็นว่ามีเทอม $y-1$ เหมือนกันกับสมการพาราโบลา $P$ จึงควรนำไปแก้สมการโดยไม่ต้องจัดรูปใหม่

[STEP]แก้สมการหาจุดตัด $A$ และ $B$[/STEP]

จากสมการพาราโบลา $P$ และเส้นตรง $L$

\begin{eqnarray*}
y-1 & = & 16\left(x-1\right)\quad\cdots\left(L\right)\\
x\left(x-1\right) & = & y-1\quad\cdots\left(P\right)
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีเทอม $y-1$ เหมือนกัน จึงสามารถจับเท่ากันได้เลย

\begin{eqnarray*}
x\left(x-1\right) & = & 16\left(x-1\right)\\
x\left(x-1\right)-16\left(x-1\right) & = & 0\\
\left(x-16\right)\left(x-1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าจุดตัดระหว่างพาราโบลา $P$ และเส้นตรง $L$ คือ $x=1$ และ $x=16$
กรณี $x=1$ จะได้จุด $(1,1)$ อยู่แล้ว ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่าจุด $A(1,1)$ จากนั้นแทนค่า $x=16$ ลงใน $L$ เพื่อหาค่าพิกัด $y$ ของ จุด $B$

\begin{eqnarray*}
y-1 & = & 16\left(\left(16\right)-1\right)\\
y & = & 241
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $B(16,241)$

[STEP]คำนวณระยะห่างระหว่างจุด $A$ และ $B$[/STEP]

จากสูตรระยะห่างระหว่างจุด

$$d=\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
d_{AB} & = & \sqrt{\left(16-1\right)^{2}+\left(241-1\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{15^{2}+240^{2}}\\
 & = & \sqrt{225+57600}\\
 & = & \sqrt{57825}
\end{eqnarray*}

[ANS]ระยะห่างระหว่างจุด $A$ กับ $B$ เท่ากับ $\sqrt{57825}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ระยะทางของจุดกับเส้นตรง