[STEP]หารูปทั่วไปของ $a_n$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & \frac{1}{5+10+15+\cdots+5n}\\
& = & \frac{1}{5\left(1+2+\cdots+n\right)}\\
& = & \frac{1}{5\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k}}\\
& = & \frac{1}{5\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]}\\
& = & \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{n\left(n+1\right)}
\end{eqnarray*}

[STEP]แยกเศษส่วนย่อย ของลำดับเทเลสโคป $a_n$[/STEP]

พบว่า $a_n$ เป็นลำดับเทเลสโคป(เป็นส่วนกลับของผลคูณของลำดับเลขคณิต) เราจึงแยกเศษส่วนย่อย โดยสมมุติให้

$$\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{n\left(n+1\right)} = \frac{2}{5}\cdot\left(\frac{A}{n}-\frac{B}{n+1}\right)$$

คำนวณหาจำนวนจริง $A$ และ $B$ โดยคูณตลอดทั้งสองข้างด้วย $\frac52n(n+1)$

\begin{eqnarray*}
\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{n\left(n+1\right)} & = & \frac{2}{5}\cdot\left(\frac{A}{n}-\frac{B}{n+1}\right)\\
1 & = & A\left(n+1\right)-B\left(n\right)
\end{eqnarray*}

แทนค่า $n=0$ จะได้ 

\begin{eqnarray*}
1 & = & A\left(0+1\right)-0\\
A & = & 1
\end{eqnarray*}

แทนค่า $n=-1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
1 & = & 0-B\left(-1\right)\\
B & = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$a_{n}=\frac{2}{5}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$

[STEP]คำนวณ $S_n$ และ $S_\infty$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & \frac{2}{5}\left[\left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)\right]\\
& = & \frac{2}{5}\left[1-\frac{1}{n+1}\right]
\end{eqnarray*}

คำนวณลิมิตของ $S_n$ จะได้ $a_1+a_2+a_3+\cdots = S_\infty$

\begin{eqnarray*}
S_{\infty} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\\
& = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{5}\left[1-\frac{1}{n+1}\right]\\
& = & \frac{2}{5}\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\frac{1}{n+1}\right]\\
& = & \frac{2}{5}\left(1-0\right)\\
& = & \frac{2}{5}
\end{eqnarray*}

[ANS]$a_1+a_2+a_3+\cdots = \frac25$[/ANS]