กำหนดให้ $45^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ และให้ 

\begin{eqnarray*}
A & = & \left(\sin\theta\right)^{\tan\theta}\\
B & = & \left(\sin\theta\right)^{\cot\theta}\\
C & = & \left(\tan\theta\right)^{\sin\theta}\\
D & = & \left(\tan\theta\right)^{\cos\theta}
\end{eqnarray*}

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แทนค่า $\theta=60^{\circ}$[/STEP]

โจทย์กำหนด $\theta$ มาให้เป็นช่วง และถามข้อสรุปในรูปทั่วไป ($\forall \theta$) ดังนั้นเราสามารถแทนค่า $\theta=60^{\circ}$ เพื่อเรียงลำดับค่า $A$, $B$, $C$ และ $D$ ได้

\begin{eqnarray*}
A & = & \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\sqrt{3}}\\
B & = & {\large\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\\
C & = & {\large\left(\sqrt{3}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\\
D & = & {\large\left(\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{2}}}
\end{eqnarray*}

ซึ่งอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกทั้งคู่ จึงใช้สมบัติความเป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดในการพิจารณาได้

[STEP]เปรียบเทียบ $A$ และ $B$ โดยอาศัยคุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่ม[/STEP]

ฟังก์ชัน $f\left(x\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{x}$ เป็นฟังก์ชันลดเพราะ $0<\frac{\sqrt{3}}{2}<1$
เมื่อแทนค่า $x=0$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\sqrt{3}$ ซึ่งเรียงจากน้อยไปหามาก จะได้

$$\begin{array}{ccccc}
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{0} & > & {\large\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}}} & > & \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\sqrt{3}}\\
1 & > & B & > & A
\end{array}$$

[STEP]เปรียบเทียบ $C$ และ $D$ โดยอาศัยคุณสมบัติของฟังก์ชันลด[/STEP]

ฟังก์ชัน $g\left(x\right)=\left(\sqrt{3}\right)^{x}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มเพราะ $\sqrt{3}>1$
เมื่อแทนค่า $x=0$, $\frac12$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ที่เรียงจากน้อยไปหามาก จะได้

$$\begin{array}{ccccc}
\left(\sqrt{3}\right)^{0} & < & {\large\left(\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{2}}} & < & {\large\left(\sqrt{3}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\\
1 & < & D & < & C
\end{array}$$

[STEP]นำอสมการทั้งสองมาต่อกัน[/STEP]
จะได้ $$

A<B<D<C

$$ 

ในการแสดงวิธีทำแบบสมบูรณ์โดยไม่ใช้การแทนค่า สามารถเริ่มต้นจากการเรียงลำดับค่าของ $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ และ $\cot\theta$ ก่อน แล้วจึงใช้วิธีพิจารณาฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดได้เหมือนกัน

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด