กำหนดให้ $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นจำนวนจริง ถ้ากราฟ
$$y=-\left|x-1-a\right|+b$$
และ กราฟ
$$y=\left|x-c\right|-d$$
ตัดกันที่จุด $(2,5)$ และ $(8,3)$ แล้วค่าของ $a+b+$ $c+d+1$ เท่ากับเท่าใด
,
\begin{eqnarray*}
5 & = & -\left|a-1\right|+b\quad\cdots\left(1\right)\\
3 & = & -\left|a-7\right|+b\quad\cdots\left(2\right)\\
5 & = & \left|c-2\right|-d\quad\cdots\left(3\right)\\
3 & = & \left|c-8\right|-d\quad\cdots\left(4\right)
\end{eqnarray*}
,
จับ $(1)-(2):$
\begin{eqnarray*}
2 & = & \left|a-7\right|-\left|a-1\right|\\
\left|a-1\right|+2 & = & \left|a-7\right|\qquad\cdots(5)
\end{eqnarray*}
และ $(3)-(4):$
\begin{eqnarray*}
2 & = & \left|c-2\right|-\left|c-8\right|\\
\left|c-8\right|+2 & = & \left|c-2\right|\qquad\cdots(6)
\end{eqnarray*}
,
\begin{eqnarray*}
\left(\left|a-1\right|+2\right)^{2} & = & \left|a-7\right|^{2}\\
\left|a-1\right|^{2}+4\left|a-1\right|+4 & = & \left|a-7\right|^{2}\\
\left(a^{2}-2a+1\right)+4\left|a-1\right|+4 & = & a^{2}-14a+49\\
4\left|a-1\right| & = & 44-12a\\
\left|a-1\right| & = & 11-3a
\end{eqnarray*}
ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้ง
\begin{eqnarray*}
\left|a-1\right|^{2} & = & \left(11-3a\right)^{2}\\
\left(a-1\right)^{2}-\left(11-3a\right)^{2} & = & 0\\
\left(a-1+11-3a\right)\left(a-1-11+3a\right) & = & 0\\
\left(-2a+10\right)\left(4a-12\right) & = & 0\\
-8\left(a-5\right)\left(a-3\right) & = & 0
\end{eqnarray*}
จะได้ $a=5$ หรือ $a=3$ แต่เมื่อแทน $a=5$ เมื่อแทนลงใน $(1)$ และ $(2)$ แล้ว ค่า $b$ ที่ได้ไม่ตรงกัน ดังนั้นจึงไม่ใช่คำตอบของระบบสมการ
ในขณะที่เมื่อแทน $a=3$ ลงใน $(1)$ และ $(2)$ แล้ว ทำให้ได้ $b=7$ เท่ากันทั้งสองสมการ
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการจึงมี $a=3$ และ $b=7$
,
\begin{eqnarray*}
\left(\left|c-8\right|+2\right)^{2} & = & \left|c-2\right|^{2}\\
\left|c-8\right|^{2}+4\left|c-8\right|+4 & = & c^{2}-4c+4\\
c^{2}-16c+64+4\left|c-8\right|+4 & = & c^{2}-4c+4\\
4\left|c-8\right| & = & 12c-64\\
\left|c-8\right| & = & 3c-16
\end{eqnarray*}
ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้งเช่นเดียวกัน
\begin{eqnarray*}
\left|c-8\right|^{2} & = & \left(3c-16\right)^{2}\\
\left(c-8\right)^{2}-\left(3c-16\right)^{2} & = & 0\\
\left(c-8+3c-16\right)\left(c-8-3c+16\right) & = & 0\\
\left(4c-24\right)\left(-2c+8\right) & = & 0\\
-8\left(c-6\right)\left(c-4\right) & = & 0
\end{eqnarray*}
ซึ่งจะได้ $c=6$ หรือ $c=4$ ตรวจสอบแล้วจะได้ $c=6$ และ $d=-1$ เท่านั้น
ข้อนี้เราใช้สมบัติของค่าสัมบูรณ์ที่ว่า
$$\left|k\right| = \left|-k\right|$$
เช่น ในขั้นตอนการแทนค่า $x=2$, $y=5$ ลงในสมการแรก
\begin{eqnarray*}
5 & = & -\left|\left(2\right)-1-a\right|+b\\
5 & = & -\left|1-a\right|+b\\
5 & = & -\left|a-1\right|+b
\end{eqnarray*}
ซึ่งเหตุผลที่เราสลับเอา $a$ มาไว้ด้านหน้าก็เพราะว่าเราเคยชินกับ $\left|a-1\right|$ มากกว่า $\left|1-a\right|$ เท่านั้นเองครับ ไม่ได้มีผลอะไรมากมาย
อีกสมบัติของค่าสัมบูรณ์ที่ใช้ในข้อนี้ คือ
$$\left|k\right|^2 = k^2$$
หรือพูดง่ายๆ ว่า "ค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสองแล้ว ค่าสัมบูรณ์หายไป" เพราะผลลัพท์ที่ได้ไม่มีทางเป็นลบ
หลายจุดในการแก้สมการข้อนี้ใช้สมบัติที่เรียกว่าสูตรผลต่างกำลังสอง
$$m^2 - k^2 = (m+k)(m-k)$$
ซึ่งทำให้การแก้สมการทำได้ง่ายกว่าเพราะไม่ต้องกระจายแล้วย้ายมารวมกันใหม่เพื่อแยกตัวประกอบอีกครั้ง แต่กลับได้ออกมาเป็นผลคูณในรูปที่แยกตัวประกอบให้เสร็จสรรพเลย