ให้ $ R$ แทนเซตของจำนวนจริง

ให้ $f: R\rightarrow R$ , $g: R\rightarrow R$ และ $h: R\rightarrow R$ เป็นฟังก์่ชัน โดยที่$$ 

f(x)=\frac{ax+2}{x^2+2}

$$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง$$

g(x)=(x^2+2)f'(x)

$$และ$$
h\left(x\right)=\begin{cases}
f(x) & ;x\geq0\\
g(x) & ;x<0
\end{cases}$$

ถ้าฟังก์ชัน $h$ ต่อเนื่องที่ $x=0$ แล้ว ค่าของ $3h(-1)+h(1)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หา $g(x)$[/STEP]

$$f'(x)=\frac{(x^2+2)(a)-(ax+2)(2x)}{(x^2+2)^2}$$

$$g(x)=(x^2+2)f'(x)$$

ดังนั้น

$$

g(x)=\frac{(x^2+2)(a)-(ax+2)(2x)}{x^2+2}

$$

[STEP]หาค่า $a$[/STEP]
เนื่องจาก $h$ ต่อเนื่องที่จุด $x=0$ ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0^{-}}h(x) & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}h(x)\\
\lim_{x\rightarrow0^{-}}g(x) & = & \lim_{x\rightarrow0+}f(x)\\
g(0) & = & f(0)\\
\frac{2a}{2} & = & \frac{2}{2}\\
a & = & 1
\end{eqnarray*}

[STEP]แทน $a=1$ ใน $h(-1)$ และ $h(1)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
h\left(-1\right) & = & g\left(-1\right)\\
& = & \frac{\left(\left(-1\right)^{2}+2\right)\left(1\right)-\left(\left(1\right)\left(-1\right)+2\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{\left(-1\right)^{2}+2}\\
& = & \frac{3+2}{3}\\
& = & \frac{5}{3}
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
h\left(1\right) & = & f\left(1\right)\\
& = & \frac{\left(1\right)\left(1\right)+2}{\left(1\right)^{2}+2}\\
& = & 1
\end{eqnarray*}

จะได้

$$3h(-1)+h(1)=3\left(\frac{5}{3}\right)+1=6$$

[ANS]$6$[/ANS]
 

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ ความต่อเนื่อง