[STEP]หา $g(x)$[/STEP]

$$f'(x)=\frac{(x^2+2)(a)-(ax+2)(2x)}{(x^2+2)^2}$$

$$g(x)=(x^2+2)f'(x)$$

ดังนั้น

$$

g(x)=\frac{(x^2+2)(a)-(ax+2)(2x)}{x^2+2}

$$

[STEP]หาค่า $a$[/STEP]
เนื่องจาก $h$ ต่อเนื่องที่จุด $x=0$ ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0^{-}}h(x) & = & \lim_{x\rightarrow0^{+}}h(x)\\
\lim_{x\rightarrow0^{-}}g(x) & = & \lim_{x\rightarrow0+}f(x)\\
g(0) & = & f(0)\\
\frac{2a}{2} & = & \frac{2}{2}\\
a & = & 1
\end{eqnarray*}

[STEP]แทน $a=1$ ใน $h(-1)$ และ $h(1)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
h\left(-1\right) & = & g\left(-1\right)\\
& = & \frac{\left(\left(-1\right)^{2}+2\right)\left(1\right)-\left(\left(1\right)\left(-1\right)+2\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{\left(-1\right)^{2}+2}\\
& = & \frac{3+2}{3}\\
& = & \frac{5}{3}
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
h\left(1\right) & = & f\left(1\right)\\
& = & \frac{\left(1\right)\left(1\right)+2}{\left(1\right)^{2}+2}\\
& = & 1
\end{eqnarray*}

จะได้

$$3h(-1)+h(1)=3\left(\frac{5}{3}\right)+1=6$$

[ANS]$6$[/ANS]