ให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของ $\cos x=\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)$

จำนวนสมาชิกของ $A\cap\left(0,32\pi\right)$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

วิธีวาดกราฟ

จากรูปเป็นกราฟทั้ง 2 ฟังก์ชันในช่วง $0$ ถึง $8\pi$ จะเห็นว่าไม่รวมหัวท้ายมีจุดตัดกัน $6$ จุด

ถ้าขยายกราฟ โดยวาดกราฟนี้ซ้ำไปจนถึง $32\pi$ (วาดเพิ่มอีก 3 รอบ) จะได้จุดตัดรวม $27$ จุด

จึงสรุปว่าจำนวนสมาชิกของ $A\cap (0,24\pi)=27$

วิธีการแก้สมการโดยการรวมมุม

\begin{eqnarray*}
\cos x & = & \cos\frac{x}{4}\\
\cos x-\cos\frac{x}{4} & = & 0\\
-2\sin\left(\frac{x+\frac{x}{4}}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\frac{x}{4}}{2}\right) & = & 0\\
\sin\left(\frac{5x}{8}\right)\sin\left(\frac{3x}{8}\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งแบ่งเป็น 2 กรณี คือ $\sin\left(\frac{5x}{8}\right)=0$ หรือ $\sin\left(\frac{3x}{8}\right)=0$

  • กรณี $\sin\left(\frac{5x}{8}\right)=0$
    ขยายช่วง $0<x<32\pi$ ไปเป็น $0<\frac{5x}{8}<20\pi$ ซึ่งพบว่ามีทั้งหมด $10$ รอบ จึงมีคำตอบ (ที่มีค่า $\sin$ เป็น $0$) ไม่รวมขอบ เท่ากับ $19$ คำตอบดังนี้$$

    \frac{5x}{8}=\pi,2\pi,3\pi,4\pi,\cdots,19\pi

    $$ซึ่งจะได้$$

    x=\frac{8\pi}{5},\frac{16\pi}{5},\frac{24\pi}{5},\frac{32\pi}{5},\cdots,\frac{152\pi}{5}

    $$ 
  • กรณี $\sin\left(\frac{3x}{8}\right)=0$
    ขยายช่วง $0<x<32\pi$ ไปเป็น $0<\frac{3x}{8}<12\pi$ ซึ่งมีทั้งหมด $6$ รอบ จึงมีคำตอบไม่รวมขอบเท่ากับ $11$ คำตอบ ดังนี้$$

    \frac{3x}{8}=\pi,2\pi,3\pi,4\pi,\cdots,11\pi

    $$ซึ่งจะได้$$

    x=\frac{8\pi}{3},\frac{16\pi}{3},\frac{24\pi}{3},\frac{32\pi}{3},\cdots,\frac{88\pi}{3}

    $$

ถ้านับแค่นี้ก็จะได้ว่ามีทั้งหมด $19+11=30$ คำตอบ แต่จริงๆ แล้วในคำตอบทั้งสองชุดมีคำตอบซ้ำกัน โดยชุดแรกอยู่ในรูป $$

\frac{8n\pi}{5},\quad n=1,2,3,\cdots, 19

$$และชุดที่สองอยู่ในรูป$$

\frac{8k\pi}{3}\quad k=1,2,3,\cdots,11

$$ซึ่งทั้งสองชุดนี้จะเท่ากันเมื่อ

\begin{eqnarray*}
\frac{8k\pi}{3} & = & \frac{8n\pi}{5}\\
\frac{k}{3} & = & \frac{n}{5}\\
5k & = & 3n
\end{eqnarray*}

ซึ่งก็ คือ เมื่อ $5k=3n=15, 30, 45$ ซึ่งเป็นพหุคูณของ ค.ร.น.ของ $3$ กับ $5$ นั่นเอง

ดังนั้นจำนวนคำตอบเมื่อลบตัวที่ซ้ำออกไปแล้วจะเหลือ $30-3=27$ คำตอบเช่นเดียวกับวิธีอื่นๆ 

วิธีแก้สมการโดยการลดขนาดเป็นมุมเล็ก

\begin{eqnarray*}
\cos x=\cos\left(2\cdot\frac{x}{2}\right) & = & 2\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-1\\
& = & 2\left(2\cos^{2}\left(\frac{x}{4}\right)-1\right)^{2}-1\\
& = & 8c^{4}-8c^{2}+1
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
\cos x & = & \cos\left(\frac{x}{4}\right)\\
8c^{4}-8c^{2}+1 & = & c\\
8c^{4}-8c^{2}-c+1 & = & 0\\
8c^{2}\left(c^{2}-1\right)-\left(c-1\right) & = & 0\\
\left(c-1\right)\left(8c^{2}\left(c+1\right)-1\right) & = & 0\\
\left(c-1\right)\left(8c^{3}+8c^{2}-1\right) & = & 0\\
\left(c-1\right)\left(2c+1\right)\left(4c^{2}+2c-1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

นั่น คือ$$

\cos\left(\frac{x}{4}\right)=1$ หรือ $\cos\left(\frac{x}{4}\right)=-\frac{1}{2}

$$หรือ$$

\cos\left(\frac{x}{4}\right)=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\left(4\right)\left(-1\right)}}{2\left(4\right)}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4},\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}

$$เนื่องจากมุมของตัวแปร $\frac{x}{4}$ เป็น $\frac{1}{4}$ เท่าของ $x$ เราจึงหดช่วง $\left(0,32\pi\right)$ เหลือ 1 ใน 4 คือ $\left(0,8\pi\right)$

  • คำตอบของ $\cos\left(\frac{x}{4}\right)=1$ ในช่วง $\left(0,8\pi\right)$ คือ $\frac{x}{4}=2\pi,4\pi,6\pi$ ซึ่งมี 3 คำตอบ
     
  • คำตอบของ $\cos\left(\frac{x}{4}\right)=-\frac{1}{2}$ ในช่วง $\left(0,8\pi\right)$ คือ $\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{8\pi}{3},\frac{10\pi}{3},\frac{14\pi}{3},\frac{16\pi}{3},\frac{20\pi}{3},\frac{22\pi}{3}$ ซึ่งมี 8 คำตอบ
     
  • คำตอบของ $\cos\left(\frac{x}{4}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ ในช่วง $\left(0,8\pi\right)$ แม้จะหาตรงๆ ไม่ได้ แต่พอเดาได้ว่ามี 8 คำตอบ เช่นเดียวกับ $\cos\left(\frac{x}{4}\right)=-\frac{1}{2}$
     
  • คำตอบของ $\cos\left(\frac{x}{4}\right)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$ ในช่วง $\left(0,8\pi\right)$ ก็มี 8 คำตอบเช่นเดียวกับกรณีข้างบน
     

 

ซึ่งทั้ง 4 ชุดไม่ซ้ำกันเลย ดังนั้นรวมมี 27 คำตอบ

วิธีที่ไม่แนะนำ คือ วิธีสุดท้าย เพราะอาจต้องเสียเวลามากกว่าวิธีอื่นๆ

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า การแก้สมการตรีโกณมิติ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ