ให้ A เป็นเซตคำตอบของ cosx=cos(x4)
จำนวนสมาชิกของ A∩(0,32π) เท่ากับเท่าใด
วิธีวาดกราฟ
จากรูปเป็นกราฟทั้ง 2 ฟังก์ชันในช่วง 0 ถึง 8π จะเห็นว่าไม่รวมหัวท้ายมีจุดตัดกัน 6 จุด
ถ้าขยายกราฟ โดยวาดกราฟนี้ซ้ำไปจนถึง 32π (วาดเพิ่มอีก 3 รอบ) จะได้จุดตัดรวม 27 จุด
จึงสรุปว่าจำนวนสมาชิกของ A∩(0,24π)=27
วิธีการแก้สมการโดยการรวมมุม
cosx=cosx4cosx−cosx4=0−2sin(x+x42)sin(x−x42)=0sin(5x8)sin(3x8)=0
ซึ่งแบ่งเป็น 2 กรณี คือ sin(5x8)=0 หรือ sin(3x8)=0
- กรณี sin(5x8)=0
ขยายช่วง 0<x<32π ไปเป็น 0<5x8<20π ซึ่งพบว่ามีทั้งหมด 10 รอบ จึงมีคำตอบ (ที่มีค่า sin เป็น 0) ไม่รวมขอบ เท่ากับ 19 คำตอบดังนี้5x8=π,2π,3π,4π,⋯,19πซึ่งจะได้x=8π5,16π5,24π5,32π5,⋯,152π5 - กรณี sin(3x8)=0
ขยายช่วง 0<x<32π ไปเป็น 0<3x8<12π ซึ่งมีทั้งหมด 6 รอบ จึงมีคำตอบไม่รวมขอบเท่ากับ 11 คำตอบ ดังนี้3x8=π,2π,3π,4π,⋯,11πซึ่งจะได้x=8π3,16π3,24π3,32π3,⋯,88π3
ถ้านับแค่นี้ก็จะได้ว่ามีทั้งหมด 19+11=30 คำตอบ แต่จริงๆ แล้วในคำตอบทั้งสองชุดมีคำตอบซ้ำกัน โดยชุดแรกอยู่ในรูป 8nπ5,n=1,2,3,⋯,19และชุดที่สองอยู่ในรูป8kπ3k=1,2,3,⋯,11ซึ่งทั้งสองชุดนี้จะเท่ากันเมื่อ
8kπ3=8nπ5k3=n55k=3n
ซึ่งก็ คือ เมื่อ 5k=3n=15,30,45 ซึ่งเป็นพหุคูณของ ค.ร.น.ของ 3 กับ 5 นั่นเอง
ดังนั้นจำนวนคำตอบเมื่อลบตัวที่ซ้ำออกไปแล้วจะเหลือ 30−3=27 คำตอบเช่นเดียวกับวิธีอื่นๆ
วิธีแก้สมการโดยการลดขนาดเป็นมุมเล็ก
cosx=cos(2⋅x2)=2cos2(x2)−1=2(2cos2(x4)−1)2−1=8c4−8c2+1
จะได้
cosx=cos(x4)8c4−8c2+1=c8c4−8c2−c+1=08c2(c2−1)−(c−1)=0(c−1)(8c2(c+1)−1)=0(c−1)(8c3+8c2−1)=0(c−1)(2c+1)(4c2+2c−1)=0
นั่น คือcos(x4)=1$หรือ$cos(x4)=−12หรือcos(x4)=−2±√22−4(4)(−1)2(4)=−1+√54,−1−√54เนื่องจากมุมของตัวแปร x4 เป็น 14 เท่าของ x เราจึงหดช่วง (0,32π) เหลือ 1 ใน 4 คือ (0,8π)
- คำตอบของ cos(x4)=1 ในช่วง (0,8π) คือ x4=2π,4π,6π ซึ่งมี 3 คำตอบ
- คำตอบของ cos(x4)=−12 ในช่วง (0,8π) คือ x4=2π3,4π3,8π3,10π3,14π3,16π3,20π3,22π3 ซึ่งมี 8 คำตอบ
- คำตอบของ cos(x4)=−1+√54 ในช่วง (0,8π) แม้จะหาตรงๆ ไม่ได้ แต่พอเดาได้ว่ามี 8 คำตอบ เช่นเดียวกับ cos(x4)=−12
- คำตอบของ cos(x4)=−1−√54 ในช่วง (0,8π) ก็มี 8 คำตอบเช่นเดียวกับกรณีข้างบน
ซึ่งทั้ง 4 ชุดไม่ซ้ำกันเลย ดังนั้นรวมมี 27 คำตอบ
วิธีที่ไม่แนะนำ คือ วิธีสุดท้าย เพราะอาจต้องเสียเวลามากกว่าวิธีอื่นๆ