กำหนดให้ $I$ แทนเซตของจำนวนเต็ม และให้ $$

f(x)=\frac{x^4-2x^2+a^2x-26}{x^5+b^2x-40}\quad \text{ เมื่อ } a,b\in I

$$ถ้า$$

A=\left\{(a,b)\in I\times I\mid f(2)=0\right\}

$$และ$$

B=\left\{(a,b)\in I\times I\mid \sqrt{a^2-2ab+b^2}<4\right\}

$$แล้ว จำนวนสมาชิกของเซต $A\cap B$ เท่ากับเท่าใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]หา $A$[/STEP]

$f\left(2\right)=0$ จะได้$$

\left(2\right)^{4}-2\left(2\right)^{2}+a^{3}\left(2\right)-26=0

$$นั่นคือ $a=\pm3$ และ$$

\left(2\right)^{5}+b^{2}\left(2\right)-40\neq0

$$นั่นคือ $b\neq \pm2$

จึงสรุปได้ว่า$$

A=\left\{ \left(3,b\right),\left(-3,b\right)\in I\times I\mid b\neq\pm2\right\}

$$เราทราบแล้วว่าสมาชิกตัวแรกของคู่อันดับใน $A$ คือ 3 และ -3

เราจึงควรหา $A\cap B$ ไปในคราวเดียวกันเลย

[STEP]หา $A\cap B$[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
\sqrt{a^{2}-2ab+b^{2}} & < & 4\\
\left|a-b\right| & < & 4
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a=3$ ในเงื่อนไขของ $B$ $$

\left|3-b\right|=\left|b-3\right|<4

$$จะได้ $b\in(-1,7)$ และ $b=0$, $1$, $3$, $4$, $5$, $6$ เพราะ $b\neq 2$

แทนค่า $a=-3$ ในเงื่อนไขของ $B$ $$

\left|-3-b\right|=\left|b+3\right|<4

$$จะได้ $b\in(-7,1)$ และ $b=-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-1$, $0$ เพราะ $b\neq -2$

ดังนั้น $n\left(A\cap B\right)=12$

ความรู้ที่ใช้ : ความสัมพันธ์ การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์