โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนจำนวน 840 คน พบว่ามีนักเรียนจำนวน 120 คน ไม่เล่นกีฬาเลย นอกนั้นเล่นกีฬาอย่างน้อยหนึ่งประเภท คือ วอลเลย์บอล บาสเกตบอล ฟุตบอล จากการสำรวจเฉพาะกลุ่มนักเรียนที่เล่นกีฬา พบว่ามีนักเรียนจำนวน 630 คนเล่นกีฬาเพียงประเภทเดียวเท่านั้น มีนักเรียน 30 คนเล่นฟุตบอลและวอลเลย์บอล มีนักเรียน 50 คนเล่นวอลเลย์บอลและบาสเกตบอล มีนักเรียน 40 คนเล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล มีนักเรียนไม่เล่นฟุตบอลจำนวน 250 คน  จงหาว่ามีนักเรียนกี่คนที่เล่นฟุตบอลเพียงอย่างเดียว

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]วาดแผนภาพเวนน์ สร้างสมการจากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

โดยเติมตัวแปรลงไปทุกชิ้นส่วน

นักเรียนทั้งหมด 840 คน ไม่เล่นกีฬาเลย 120 คน ดังนั้นมี $840-120=720$ คน เล่นกีฬาอย่างน้อย 1 ประเภท $$a+b+c+x+y+z+w = 720 \quad\cdots(1)$$

นักเรียน 630 คนเล่นกีฬาประเภทเดียว $$a+b+c=630\quad\cdots(2)$$

นักเรียน 30 คนเล่นฟุตบอลและวอลเลย์บอล จะได้สมการ $y+z=30$
นักเรียน 50 คนเล่นวอลเลย์บอลและบาสเกตบอล จะได้สมการ $x+y=50$
นักเรียน 40 คนเล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล จะได้สมการ $y+w=40$ 

นำสมการทั้งสามข้างบนบวกกัน จะได้

$$x+w+z+3y=30+50+40=120\quad\cdots(3)$$

[STEP]แก้ระบบสมการหาค่า $y$[/STEP]

จากสมการทั้งสามในขั้นตอนที่แล้ว

\begin{eqnarray*}
a+b+c+x+y+z+w & = & 720\qquad\cdots\left(1\right)\\
a+b+c & = & 630\qquad\cdots\left(2\right)\\
x+w+z+3y & = & 120\qquad\cdots\left(3\right)
\end{eqnarray*}

 

นำสมการ $(2)$ บวกกับสมการ $(3)$ แล้วลบด้วยสมการ $(1)$

$$(2)+(3)-(1): 2y=630+120-720$$

จะได้ $y=15$

[STEP]ใช้ค่า $y=15$ แก้ระบบสมการหาค่า $x,z,w$ ในส่วนอินเตอร์เซกชั่น[/STEP]

จากข้อมูลอินเตอร์เซกชั่นที่โจทย์ให้มาและค่า $y=15$ เราสามารถหาค่าตัวแปร $x,z$ และ $w$ ได้ดังนี้

 

จากนักเรียน $30$ คน เล่นฟุตบอลและวอลเลย์บอล หรือ $y+z=30$ แทนค่า $y=15$ ลงไปจะได้ $z=15$
จากนักเรียน $50$ คน เล่นวอลเล่ย์บอลและบาสเกตบอล จะได้สมการ $x+y=50$ แทนค่า $y=15$ ลงไปจะได้ $x=35$
จากนักเรียน $40$ คน เล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล หรือ $y+w=40$ แทนค่า $y=15$ ลงไปจะได้ $w=25$

[STEP]คำนวณจำนวนนักเรียนที่เล่นฟุตบอลเพียงอย่างเดียว[/STEP]

นักเรียนไม่เล่นฟุตบอล $250$ คน จากที่สำรวจนักเรียนกลุ่มที่เล่นกีฬาทั้งหมด $720$ คน(มาจากนักเรียนทั้งโรงเรียน $840$ คน ไม่เล่นกีฬาไป 120 คน เลยเหลือนักเรียนที่เล่นกีฬา $840-120=720$ คน) ดังนั้นมี $720-250 = 470$ คนเล่นฟุตบอล เขียนเป็นสมการจากแผนภาพเวนน์ได้เป็น

$$z+y+w+c=470$$

แทนค่า $z=15$, $y=15$ และ $w=25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z+y+w+c & = & 470\\
\left(15\right)+\left(15\right)+\left(25\right)+c & = & 470\\
55+c & = & 470\\
c & = & 470-55\\
c & = & 415
\end{eqnarray*}

จะได้จำนวนนักเรียนที่เล่นฟุตบอลอย่างเดียวเท่ากับ $c=415$ คน

[ANS]$415$ คน[/ANS]

ในขั้นตอนการแก้ระบบสมการหาค่า $x,z,w$ ที่จริงแล้วเราไม่จำเป็นจะต้องหา $x$ ก็ได้ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้ในการหาค่า $c$ ที่โจทย์ถาม

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์ปัญหาสูตรยูเนียน