[STEP]วาดแผนภาพเวนน์ สร้างสมการจากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้[/STEP]

โดยเติมตัวแปรลงไปทุกชิ้นส่วน

นักเรียนทั้งหมด 840 คน ไม่เล่นกีฬาเลย 120 คน ดังนั้นมี $840-120=720$ คน เล่นกีฬาอย่างน้อย 1 ประเภท $$a+b+c+x+y+z+w = 720 \quad\cdots(1)$$

นักเรียน 630 คนเล่นกีฬาประเภทเดียว $$a+b+c=630\quad\cdots(2)$$

นักเรียน 30 คนเล่นฟุตบอลและวอลเลย์บอล จะได้สมการ $y+z=30$
นักเรียน 50 คนเล่นวอลเลย์บอลและบาสเกตบอล จะได้สมการ $x+y=50$
นักเรียน 40 คนเล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล จะได้สมการ $y+w=40$ 

นำสมการทั้งสามข้างบนบวกกัน จะได้

$$x+w+z+3y=30+50+40=120\quad\cdots(3)$$

[STEP]แก้ระบบสมการหาค่า $y$[/STEP]

จากสมการทั้งสามในขั้นตอนที่แล้ว

\begin{eqnarray*}
a+b+c+x+y+z+w & = & 720\qquad\cdots\left(1\right)\\
a+b+c & = & 630\qquad\cdots\left(2\right)\\
x+w+z+3y & = & 120\qquad\cdots\left(3\right)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2)$ บวกกับสมการ $(3)$ แล้วลบด้วยสมการ $(1)$

$$(2)+(3)-(1): 2y=630+120-720$$

จะได้ $y=15$

[STEP]ใช้ค่า $y=15$ แก้ระบบสมการหาค่า $x,z,w$ ในส่วนอินเตอร์เซกชั่น[/STEP]

จากข้อมูลอินเตอร์เซกชั่นที่โจทย์ให้มาและค่า $y=15$ เราสามารถหาค่าตัวแปร $x,z$ และ $w$ ได้ดังนี้

จากนักเรียน $30$ คน เล่นฟุตบอลและวอลเลย์บอล หรือ $y+z=30$ แทนค่า $y=15$ ลงไปจะได้ $z=15$
จากนักเรียน $50$ คน เล่นวอลเล่ย์บอลและบาสเกตบอล จะได้สมการ $x+y=50$ แทนค่า $y=15$ ลงไปจะได้ $x=35$
จากนักเรียน $40$ คน เล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล หรือ $y+w=40$ แทนค่า $y=15$ ลงไปจะได้ $w=25$

[STEP]คำนวณจำนวนนักเรียนที่เล่นฟุตบอลเพียงอย่างเดียว[/STEP]

นักเรียนไม่เล่นฟุตบอล $250$ คน จากที่สำรวจนักเรียนกลุ่มที่เล่นกีฬาทั้งหมด $720$ คน(มาจากนักเรียนทั้งโรงเรียน $840$ คน ไม่เล่นกีฬาไป 120 คน เลยเหลือนักเรียนที่เล่นกีฬา $840-120=720$ คน) ดังนั้นมี $720-250 = 470$ คนเล่นฟุตบอล เขียนเป็นสมการจากแผนภาพเวนน์ได้เป็น

$$z+y+w+c=470$$

แทนค่า $z=15$, $y=15$ และ $w=25$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z+y+w+c & = & 470\\
\left(15\right)+\left(15\right)+\left(25\right)+c & = & 470\\
55+c & = & 470\\
c & = & 470-55\\
c & = & 415
\end{eqnarray*}

จะได้จำนวนนักเรียนที่เล่นฟุตบอลอย่างเดียวเท่ากับ $c=415$ คน

[ANS]$415$ คน[/ANS]