กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนนับ  ถ้า

$$f:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} $$

เป็นฟังก์ชัน $1-1$  และทั่วถึง  ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข

$$f\left(1\right)+f\left(2\right)+\cdots+f\left(n\right)=f\left(1\right)f\left(2\right)\cdots f\left(n\right)$$

แล้วค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $f(1)-f(n)$  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาค่าของ $f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$ และ $f(1)f(2)\cdots f(n)$[/STEP]

เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง แสดงว่าเรนจ์ของ $f$ เป็นสมาชิกใน $\{1,2,\cdots,n\}$ ครบทุกตัว และมีอย่างละพอดี  ถึงแม้เราจะไม่ทราบว่า $f(1),f(2),\cdots,f(n)$ แต่ละตัวมีค่าเท่าไหร่ แต่เราทราบว่าเราสามารถหาผลรวมของ $f(1)+f(2)+\cdots f(n)$ เพราะว่าต้องเท่ากับ $1+2+3+\cdots+n$ อย่างแน่นอน ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+\cdots+f\left(n\right) & = & 1+2+3+\cdots+n\\
 & = & \sum_{k=1}^{n}k\\
 & = & \frac{n}{2}\left(n+1\right)
\end{eqnarray*}

ทำนองเดียวกัน ผลคูณ $f(1)\cdot f(2)\cdot f(3) \cdot \cdots \cdot f(n)$ ก็ทำคล้ายกัน

\begin{eqnarray*}
f\left(1\right)\cdot f\left(2\right)\cdot f\left(3\right)\cdot\cdots\cdot f\left(n\right) & = & 1\cdot2\cdot3\cdot\cdots\cdot n\\
 & = & n!
\end{eqnarray*}

ดังนั้นสมการที่โจทย์กำหนดให้ สามารถเขียนอีกแบบได้เป็น

$$\frac{n}{2}\left(n+1\right) = n!$$

[STEP]พิจารณาค่า $f(1) - f(n)$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้[/STEP]

เนื่องจากค่าของ $f(1),f(2),\cdots f(n)$ ที่เป็นไปได้อยู่ในเซต $\{1,2,\cdots,n\}$ ซึ่งมี $1$ เป็นตัวที่น้อยที่สุด และมี $n$ เป็นตัวที่มากที่สุด  ถ้าหากเราต้องการผลต่าง $f(1) - f(n)$ ที่มากที่สุด ก็ต้องมีค่า $f(1) = n$ และ $f(n) = 1$ เพื่อให้ผลต่างมีค่าสูงที่สุด

ดังนั้น $$f(1) -f(n) = n-1$$

[STEP]สุ่มแทน $n-1$ จากตัวเลือกมาตรวจสอบว่าข้อใดใช้กับสมการในขั้นตอนแรกได้[/STEP]

ถ้าคำตอบ คือ $A$ จะได้ $n-1 = 2$ หรือ $n=3$ นั่นเอง  เมื่อแทนค่า $n=3$ ลงในสมการ $\frac{n}{2}(n+1) = n!$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{n}{2}\left(n+1\right) & = & n!\\
\frac{3}{2}\left(3+1\right) & = & 3!\\
\frac{3}{2}\left(4\right) & = & 6\\
6 & = & 6
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

[ANS]$A$[/ANS]

ถ้าคำตอบ คือ $B$ จะได้ $n-1=5$ หรือ $n=6$ แทนค่าลงในสมการ $\frac{n}{2}(n+1) = n!$ จะได้

$$\cancel{\begin{eqnarray*}
\frac{n}{2}\left(n+1\right) & = & n!\\
\frac{6}{2}\left(6+1\right) & = & 6!\\
3\left(7\right) & = & 720\\
21 & = & 720
\end{eqnarray*}}$$

ซึ่งไม่เป็นจริง

ทำนองเดียวกัน ถ้าคำตอบ คือ $C$ หรือ $D$ ก็จะได้สมการที่ไม่เป็นจริง