,

จากโจทย์กำหนดให้

$$f(x+y) = f(x) + f(y) + 4xy$$

เราต้องการการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปตัวแปรเดียว ดังนั้นเราจะแทนค่า $x=a$ และ $y=a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนนับ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(x+y)&=&f(x)+f(y)+4xy\\
f(a+a)&=&f(a)+f(a)+4(a)(a)\\
f(2a)&=&2f(a)+4a^2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น เราจะได้ฟังชั้นในรูปตัวแปรเดียวคือ

$$f(2a)=2f(a)+4a^2$$

,

เริ่มจากการใช้สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ คือ $f(1)=4$ และจากขั้นตอนก่อนหน้าเราจะสามารถหาค่า $f(2)$ ได้ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
f(2a)&=&2f(a)+4a^2\\
f(2(1))&=&2f(1)+4(1^2)\\
f(2)&=&2(4)+4\\
f(2)&=&12
\end{eqnarray*}

จาก $f(2)$ จะสามารถหาค่า $f(4)$ ได้

\begin{eqnarray*}
f(2(2))&=&2f(2)+4(2^2)\\
f(4)&=&2(12)+16\\
f(4)&=&40
\end{eqnarray*}

เมื่อได้ $f(4)$ และโจทย์ให้ $f(1)$ มาแล้ว คำนวณ $f(5)$

\begin{eqnarray*}
f(x+y)&=&f(x)+f(y)+4xy\\
f(1+4)&=&f(1)+f(4)+4(1)(4)\\
f(5)&=&4+40+16\\
f(5)&=&60
\end{eqnarray*}

ต่อมาใช้ $f(5)$ เพื่อคำนวณ $f(10)$ โดยใช้ $f(2a)=2f(a)+4a^2$

\begin{eqnarray*}
f(2(5))&=&2f(5)+4(5^2)\\
f(10)&=&2(60)+4(25)\\
f(10)&=&220
\end{eqnarray*}

ตอนนี้เราได้ $f(10)$ เรียบร้อยแล้ว ดังนั้นเราจะคำนวณ $f(20)$ ได้

\begin{eqnarray*}
f(2(10))&=&2f(10)+4(10^2)\\
f(20)&=&2(220)+4(100)\\
f(20)&=&840
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f(20)$ ที่โจทย์ถามมีค่าเท่ากับ $840$